Exercício 3. (Apostol seção 14.8 exercícios 8 e 9) Seja
uma variável aleatória.
Se a imagem de
é
e a probabilidade
é proporcional a
, calcule a constante de proporcionalidade, a função de probabilidade de massa
e a função de distribuição
.
Se a imagem de
Passo 1
O enunciado define uma variável aleatória discreta
com suporte
e pede uma probabilidade
proporcional a
. Vamos determinar a constante de proporcionalidade
, a pmf
e a função de distribuição cumulativa
.
Passo 2
Impondo a normalização
e usando
, temos
e como
, segue
Passo 3
Substituindo em
, obtemos para
e
para todo
.
Passo 4
Para a função de distribuição cumulativa
, note que para
definimos
e
Assim, em forma piecewise,