Exercício 3. (Apostol seção 14.8 exercícios 8 e 9) Seja X: S R uma variável aleatória.
Se a imagem de X é 1,2, ldots, n e a probabilidade P(X=k) é proporcional a k, calcule a constante de proporcionalidade, a função de probabilidade de massa pX e a função de distribuição FX.

Passo 1

O enunciado define uma variável aleatória discreta X com suporte 1,2,dots,n e pede uma probabilidade P(X=k) proporcional a k. Vamos determinar a constante de proporcionalidade c, a pmf pX e a função de distribuição cumulativa FX.

Passo 2

Impondo a normalização sumk=1^nP(X=k)=1 e usando P(X=k)=c,k, temos
csumk=1^n k = 1
e como sumk=1^n k = n(n+1)/2, segue
c = 2n(n+1)

Passo 3

Substituindo em P(X=k)=c,k, obtemos para k=1,2,dots,n
pX(k) = P(X=k) = 2kn(n+1),
e pX(k)=0 para todo knotin1,dots,n.

Passo 4

Para a função de distribuição cumulativa FX(x)=P(X<= x), note que para x>=1 definimos k=lfloor xrfloor e
FX(x) = sumi=1^k pX(i) = 2n(n+1) sumi=1^k i = 2n(n+1)cdotk(k+1)2 = k(k+1)n(n+1)
Assim, em forma piecewise,
FX(x)= 0, & x<1, lfloor xrfloor(lfloor xrfloor+1)n(n+1), & 1<= x <n, 1, & x>= n

Resposta

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