Exercício 2. (Apostol seção 3.17 exercício 4) Seja
. Prove as seguintes propriedades da matriz
dos cofatores de
:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
, vale
Aqui usamos o conceito de cofactor
, onde
é a submatriz que sai de
ao apagar a linha
e a coluna
. A matriz
tem entradas
, e sua transposta
é o adjugado de
. Vamos usar a expansão de Laplace de determinantes para cada entrada do produto
.
Passo 2
Calculemos a entrada genérica
do produto
. Por definição de multiplicação de matrizes,
Ou seja,
Passo 3
Para interpretar essa soma como um determinante, considere a matriz
obtida a partir de
trocando sua coluna
pela coluna
de
. Em outras palavras,
Passo 4
Aplique a expansão de Laplace de
pela coluna
. Como
é precisamente o cofactor de
em
, temos
Logo
Passo 5
Agora observe que, se
ou seja, (\operatorname{cof}(A)^T A=\det(A),I_n].