Exercício 2. (Apostol seção 3.17 exercício 4) Seja A in Mn(R), n >= 2. Prove as seguintes propriedades da matriz cof(A) dos cofatores de A :
cof(A)^T A=det(A) I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para Ain Mn( R), vale
l(cof(A)r)^T A ;=;det(A),In
Aqui usamos o conceito de cofactor Cij=(-1)^i+jdet(Aij), onde Aij é a submatriz que sai de A ao apagar a linha i e a coluna j. A matriz cof(A) tem entradas l[cof(A)r]ij=Cij, e sua transposta l(cof(A)r)^T é o adjugado de A. Vamos usar a expansão de Laplace de determinantes para cada entrada do produto l(cof(A)r)^T A.

Passo 2

Calculemos a entrada genérica (i,k) do produto l(cof(A)r)^T A. Por definição de multiplicação de matrizes,
l[l(cof(A)r)^T Ar]ik =sumj=1^n l[l(cof(A)r)^Tr]ij,Ajk =sumj=1^n C,j,i;Aj,k
Ou seja,
l(cof(A)^T Ar)ik =sumj=1^n Cj,i,Aj,k

Passo 3

Para interpretar essa soma como um determinante, considere a matriz B obtida a partir de A trocando sua coluna i pela coluna k de A. Em outras palavras,
B=l[bp,qr], bp,q= Ap,k,&q=i, Ap,q,&qneq i

Passo 4

Aplique a expansão de Laplace de det(B) pela coluna i. Como Cj,i=(-1)^j+idet(Aj,i) é precisamente o cofactor de aj,i em A, temos
det(B) =sumj=1^n (-1)^j+idetl(Aj,ir);Bj,i =sumj=1^n Cj,i;Aj,k
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det(B) =sumj=1^n Cj,iAj,k =l(cof(A)^T Ar)ik

Passo 5

Agora observe que, se
ou seja, (\operatorname{cof}(A)^T A=\det(A),I_n].

Resposta

boxedl(cof(A)r)^T A=det(A),In

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