Prove a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica:
:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer
, vale
Isso faz parte da desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM). Vamos usar a ideia de que todo quadrado real é não-negativo para chegar à conclusão.
Passo 2
Como
, podemos definir
de modo que
e
,
. Sabemos que qualquer número real ao quadrado é não-negativo, isto é,
Passo 3
Expandindo o quadrado, obtemos
logo
Passo 4
Voltando às variáveis originais, substituímos
,
e
. Assim
Bastará agora dividir ambos os lados por
(que é positivo, então não inverte a desigualdade) para obter