Prove a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica: forall x, y >= 0 :
raizx y <= x+y2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer x,y>= 0, vale
raizx,y<=x+y2
Isso faz parte da desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM). Vamos usar a ideia de que todo quadrado real é não-negativo para chegar à conclusão.

Passo 2

Como x,y>=0, podemos definir
a = raizx, b = raizy,
de modo que a,b>=0 e a^2=x, b^2=y. Sabemos que qualquer número real ao quadrado é não-negativo, isto é,
(a - b)^2 >= 0

Passo 3

Expandindo o quadrado, obtemos
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 >= 0
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a^2 + b^2 >= 2ab

Passo 4

Voltando às variáveis originais, substituímos a^2=x, b^2=y e ab=raizx,y. Assim
x + y >= 2raizx,y
Bastará agora dividir ambos os lados por 2 (que é positivo, então não inverte a desigualdade) para obter
x+y2;>=;raizx,y

Resposta

forall,x,y>=0: raizx,y<=x+y2

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