Sejam
, com
, mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a desigualdade de radicais
para quaisquer
com
. O conteúdo principal é manipulação algébrica de radicais e uso da identidade de diferença de quadrados.
Passo 2
Reescrevemos a diferença de raízes usando a identidade
Note que
e
, então a fração está bem definida.
Passo 3
Como
e a função raiz quadrada é estritamente crescente, temos
. Somando
aos dois lados dá
Portanto, dividindo o numerador positivo
por um denominador que é maior que
, obtemos
Isso equivale a
ou seja,
Resposta
A desigualdade
está provada para todo
.