Sejam x, y in R, com 0<x<y, mostre que
raizy-x>raizy-raizx

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a desigualdade de radicais
raizy-x>raizy-raizx
para quaisquer x,yinR com 0<x<y. O conteúdo principal é manipulação algébrica de radicais e uso da identidade de diferença de quadrados.

Passo 2

Reescrevemos a diferença de raízes usando a identidade
raizy-raizx =(raizy-raizx)(raizy+raizx)raizy+raizx =y-xraizy+raizx
Note que y-x>0 e raizy+raizx>0, então a fração está bem definida.

Passo 3

Como y>y-x>0 e a função raiz quadrada é estritamente crescente, temos raizy>raizy-x. Somando raizx>0 aos dois lados dá
raizy+raizx>raizy-x
Portanto, dividindo o numerador positivo y-x por um denominador que é maior que raizy-x, obtemos
y-xraizy+raizx <y-xraizy-x =raizy-x
Isso equivale a
raizy-raizx<raizy-x,
ou seja,
raizy-x>raizy-raizx

Resposta

A desigualdade raizy-x>raizy-raizx está provada para todo 0<x<y.

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