Exercício 2. (Apostol seção 3.17 exercício 4) Seja . Prove as seguintes propriedades da matriz dos cofatores de : .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz com , vale
O conteúdo necessário é o conceito de cofator de (obtido removendo a linha e a coluna e aplicando o sinal ) e o produto de matrizes, além da expansão de Laplace para determinantes.
Passo 2
Defina o cofator de por
onde é o menor obtido retirando a linha e a coluna . A matriz dos cofatores é e sua transposta,
é chamada adjunta de .
Passo 3
Calcule o elemento de . Por definição de produto de matrizes,
Mas é exatamente a expansão de Laplace do determinante de ao longo da linha , trocando essa linha pela linha . Se , recupera-se a expansão usual e o somatório vale . Se , a matriz terá duas linhas iguais (a e a ), e o determinante anula-se. Logo
ou seja,
A,adj(A)=det(A),In
Passo 4
De modo análogo, considere o elemento (i,j) de adj(A),A:
Esse somatório é a expansão de Laplace do determinante de A ao longo da coluna i, trocando-a pela coluna j. Novamente, se i=j dá det(A); senão dá 0. Logo
adj(A),A =det(A),In
Passo 5
Como ambos os produtos valem det(A),In, concluímos