Exercício 2. (Apostol seção 3.17 exercício 4) Seja A in Mn(R), n >= 2. Prove as seguintes propriedades da matriz cof(A) dos cofatores de A :
A(cof(A))^T=(cof(A))^T A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para toda matriz Ain Mn(R) com n>=2, vale
Al(cof(A)r)^T ;=; l(cof(A)r)^TA
O conteúdo necessário é o conceito de cofator Cij de A (obtido removendo a linha i e a coluna j e aplicando o sinal (-1)^i+j) e o produto de matrizes, além da expansão de Laplace para determinantes.

Passo 2

Defina o cofator Cij de A=(aij) por
Cij = (-1)^,i+jdet(Aij),
onde Aij é o menor obtido retirando a linha i e a coluna j. A matriz dos cofatores é cof(A)=(Cij) e sua transposta,
adj(A);:=;l(cof(A)r)^T,
é chamada adjunta de A.

Passo 3

Calcule o elemento (i,j) de A,adj(A). Por definição de produto de matrizes,
l[A,adj(A)r]ij = sumk=1^naik,l(adj(A)r)kj = sumk=1^naik,Cjk
Mas sumk=1^naik,Cjk é exatamente a expansão de Laplace do determinante de A ao longo da linha j, trocando essa linha pela linha i. Se i=j, recupera-se a expansão usual e o somatório vale det(A). Se ineq j, a matriz terá duas linhas iguais (a i e a j), e o determinante anula-se. Logo
l[A,adj(A)r]ij = det(A),&i=j, 0,&ineq j,
ou seja,
A,adj(A)=det(A),In

Passo 4

De modo análogo, considere o elemento (i,j) de adj(A),A:
l[adj(A),Ar]ij = sumk=1^nl(adj(A)r)ik,akj = sumk=1^nCki,akj
Esse somatório é a expansão de Laplace do determinante de A ao longo da coluna i, trocando-a pela coluna j. Novamente, se i=j det(A); senão dá 0. Logo
adj(A),A =det(A),In

Passo 5

Como ambos os produtos valem det(A),In, concluímos
A,adj(A) =det(A),In =adj(A),A ;;Longrightarrow;; Al(cof(A)r)^T = l(cof(A)r)^TA

Resposta

Al(cof(A)r)^T = l(cof(A)r)^TA

Exercícios relacionados