Exercício 1. (Apostol seção 3.17 exercícios 1 e 2) Para cada uma das matrizes abaixo, determine a matriz dos cofatores e a inversa:

Passo 1

O enunciado pede a matriz dos cofatores e a inversa da matriz
A = 1 & 2 3 & 4
Para isso vamos usar o conceito de determinante, cofactor e adjunta.

Passo 2

Primeiro calculamos o determinante de A e definimos o cofactor.
det(A) = 1cdot4 - 2cdot3 = -2
O cofactor de aij é
Cij = (-1)^i+jMij,
onde Mij é o menor de aij.

Passo 3

Agora calculamos cada cofactor e montamos a matriz dos cofatores:
C11 = (+1)det(4) = 4, C12 = (-1)det(3) = -3,
C21 = (-1)det(2) = -2, C22 = (+1)det(1) = 1
Logo,
matriz de cofatores = 4 & -3 [6pt] -2 & 1 ]

Passo 4

Para achar A^-1 usamos
A^-1 = 1det(A),adj(A),
once adj(A) é a transposta da matriz de cofatores. Assim,
adj(A) = 4 & -2 [6pt] -3 & 1 , A^-1 = 1-2 4 & -2 [6pt] -3 & 1 = -2 & 1 [6pt] tfrac32 & -tfrac12 ]

Resposta

Matriz dos cofatores:
4 & -3 [6pt] -2 & 1
Inversa de A:
-2 & 1 [6pt] 32 & -12 ]

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