1. Um dos vértices de um triângulo é o ponto (0,0) e os outros dois são as intersecções da reta normal à curva x^4=y^2 no ponto (1,1), com os eixos coordenados. Determine a área desse triângulo.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva definida implicitamente por x^4=y^2 e o ponto (1,1) sobre ela. Queremos a reta normal à curva nesse ponto, depois achamos onde essa reta corta os eixos x e y e, por fim, calculamos a área do triângulo com vértices (0,0), ponto de intersecção com o eixo x e ponto de intersecção com o eixo y. Para isso precisaremos de derivada implícita, coeficiente angular da normal e fórmula da área de triângulo na base-altura.

Passo 2

Derivada implícita de x^4=y^2. Derivando ambos os lados em relação a x:
4x^3 = 2y,dydx
Logo o coeficiente angular da tangente é
dydx = 4x^32y = 2x^3y
No ponto (1,1) temos
dydx|(1,1) = 2cdot1^31 = 2

Passo 3

O coeficiente angular da normal é o negativo do recíproco do da tangente, isto é,
mnormal = -12
Logo a equação da reta normal em (1,1) é
y - 1 = -tfrac12,(x-1),
que simplifica para
y = -tfrac12 x + tfrac32

Passo 4

Interseção com o eixo x ( y=0):
0 = -tfrac12 x + tfrac32 Longrightarrow tfrac12 x = tfrac32 Longrightarrow x = 3
Logo o ponto é (3,0).
Interseção com o eixo y ( x=0):
y = -tfrac12cdot0 + tfrac32 = tfrac32
Logo o ponto é (0,tfrac32).

Passo 5

Temos triângulo de vértices (0,0), (3,0) e l(0,tfrac32r). É um triângulo retângulo em (0,0), com base 3 e altura tfrac32. A área é
Área = tfrac12 times base times a<ura = tfrac12 times 3 times tfrac32 = tfrac94 Á

Resposta

A área do triângulo é tfrac94.

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