Um dos vértices de um triângulo é o ponto e os outros dois são as intersecções da reta normal à curva no ponto , com os eixos coordenados. Determine a área desse triângulo.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a curva definida implicitamente por e o ponto sobre ela. Queremos a reta normal à curva nesse ponto, depois achamos onde essa reta corta os eixos e e, por fim, calculamos a área do triângulo com vértices , ponto de intersecção com o eixo e ponto de intersecção com o eixo . Para isso precisaremos de derivada implícita, coeficiente angular da normal e fórmula da área de triângulo na base-altura.
Passo 2
Derivada implícita de . Derivando ambos os lados em relação a :
Logo o coeficiente angular da tangente é
No ponto temos
Passo 3
O coeficiente angular da normal é o negativo do recíproco do da tangente, isto é,
mnormal = -12
Logo a equação da reta normal em (1,1) é
y - 1 = -tfrac12,(x-1),
que simplifica para
y = -tfrac12 x + tfrac32
Passo 4
Interseção com o eixo x (y=0):
0 = -tfrac12 x + tfrac32 Longrightarrow tfrac12 x = tfrac32 Longrightarrow x = 3
Logo o ponto é (3,0).
Interseção com o eixo y (x=0):
y = -tfrac12cdot0 + tfrac32 = tfrac32
Logo o ponto é (0,tfrac32).
Passo 5
Temos triângulo de vértices (0,0), (3,0) e l(0,tfrac32r). É um triângulo retângulo em (0,0), com base 3 e altura tfrac32. A área é
Área = tfrac12 times base times a<ura = tfrac12 times 3 times tfrac32 = tfrac94 Á