Se A=(lla11 & a12 a21 & a22) e X(t)=(llx11(t) & x12(t) x21(t) & x22(t)) são tais que X^prime(t)=A X(t), então mostre que
dd t det(X(t))=tr(A) det(X(t))

Passo 1

O enunciado dá uma matriz constante
e uma família de matrizes satisfazendo a equação diferencial matricial
O objetivo é calcular a derivada de em função de e da traça de . Para isso vamos usar a definição de determinante de e a regra do produto.

Passo 2

Escrevemos explicitamente o determinante de X(t). Se
X(t)= x11(t)&x12(t) x21(t)&x22(t) ,
então
det(X(t))=x11(t),x22(t)-x12(t),x21(t)

Passo 3

Aplicamos a derivada em cada termo usando a regra do produto:
ddtdet(X)= x11',x22+x11,x22' -l(x12',x21+x12,x21'r)

Passo 4

Agora substituímos
Substituindo em (\frac{d}{dt}\det(X)] dá

Passo 5

Agrupamos termos semelhantes em x11x22 e em -x12x21:
a11x11x22+a22x11x22 -l(a11x12x21+a22x12x21r) = (a11+a22)l(x11x22-x12x21r)
Reconhecemos x11x22-x12x21=det(X) e a11+a22=tr(A). Logo
ddtdet(X) =tr(A),det(X)

Resposta

dd tdet(X(t))=tr(A),det(X(t))

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