Se
e
são tais que
, então mostre que
Passo 1
O enunciado dá uma matriz constante
e uma família de matrizes
satisfazendo a equação diferencial matricial
O objetivo é calcular a derivada de
em função de
e da traça de
. Para isso vamos usar a definição de determinante de
e a regra do produto.
Passo 2
Escrevemos explicitamente o determinante de
. Se
então
Passo 3
Aplicamos a derivada em cada termo usando a regra do produto:
Passo 4
Agora substituímos
Substituindo em (\frac{d}{dt}\det(X)] dá
Passo 5
Agrupamos termos semelhantes em
e em
:
Reconhecemos
e
. Logo