Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função seguinte, no ponto (0 ; 2): y=(2+x) cdot e^-x.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente ao gráfico de y=(2+x)e^-x no ponto (0,2). O conteúdo envolve derivada (regra do produto) e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Para encontrar y'=dydx, use a regra do produto em u=2+x e v=e^-x:
y' = u',v + u,v' = 1cdot e^-x + (2+x)cdot(-e^-x) = e^-x - (2+x)e^-x = e^-x(1 - (2+x)) = -e^-x(1+x)

Passo 3

A inclinação da reta tangente no ponto x0=0 é
m = y'(0) = -e^0(1+0) = -1

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação da reta tangente em (x0,y0)=(0,2):
y - 2 = m,(x - 0) Longrightarrow y - 2 = -1,(x) Longrightarrow y = -x + 2

Resposta

y = -x + 2

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