Exercício 1. (Apostol seção 3.17 exercícios 1 e 2) Para cada uma das matrizes abaixo, determine a matriz dos cofatores e a inversa:

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = 2 & -1 & 3 0 & 1 & 1 -1 & -2 & 0
e pede a matriz dos cofatores e a inversa. Para isso vamos usar os conceitos de determinante, menor, cofactor, adjunta (transposta da matriz de cofatores) e a fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A)

Passo 2

Calcular o determinante de A expandindo pela primeira linha:
det(A) = 2cdotdet1&1-2&0 -(-1)cdotdet0&1-1&0 +3cdotdet0&1-1&-2
Agora cada 2times 2:
det1&1-2&0 =1cdot0 - 1cdot(-2)=2, det0&1-1&0 =0cdot0 -1cdot(-1)=1,
det0&1-1&-2 =0cdot(-2) -1cdot(-1)=1
Logo
det(A)=2cdot2 -(-1)cdot1 +3cdot1 =4+1+3 =8

Passo 3

Agora vamos calcular os menores Mij e os cofatores Cij=(-1)^i+jMij:
Para i=1:
M11=det1&1-2&0=2, C11=+2;
M12=det0&1-1&0=1, C12=-1;
M13=det0&1-1&-2=1, C13=+1
Para i=2:
M21=det-1&3-2&0=6, C21=-6;
M22=det2&3-1&0=3, C22=+3;
M23=det2&-1-1&-2=-5, C23=+5
Para i=3:
M31=det-1&31&1=-4, C31=-4;
M32=det2&30&1=2, C32=-2;
M33=det2&-10&1=2, C33=+2

Passo 4

A matriz dos cofatores é
C = 2 & -1 & 1 -6 & 3 & 5 -4 & -2 & 2
A adjunta de A (ou matriz clássica adjunta) é a transposta de C:
adj(A)=C^T = 2 & -6 & -4 -1 & 3 & -2 1 & 5 & 2

Passo 5

Usando a fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A)
e sabendo que det(A)=8, obtemos
A^-1 = 18 2 & -6 & -4 -1 & 3 & -2 1 & 5 & 2 = tfrac14 & -tfrac34 & -tfrac12[6pt] -tfrac18 & tfrac38 & -tfrac14[6pt] tfrac18 & tfrac58 & tfrac14 ]

Resposta

Matriz dos cofatores:
2 & -1 & 1 -6 & 3 & 5 -4 & -2 & 2
Matriz inversa:
tfrac14 & -tfrac34 & -tfrac12 -tfrac18 & tfrac38 & -tfrac14 tfrac18 & tfrac58 & tfrac14

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