Exercício 1. (Apostol seção 3.17 exercícios 1 e 2) Para cada uma das matrizes abaixo, determine a matriz dos cofatores e a inversa:

Passo 1

O enunciado pede, para
A= 3 & 1 & 2 & 4 2 & 0 & 5 & 1 1 & -1 & -2 & 6 -2 & 3 & 2 & 3 ,
a) a matriz dos cofatores de A e b) a inversa de A.
Conteúdo: menores de ordem 3, cofatores, determinante, adjunta e fórmula
A^-1=1det A,adj(A)

Passo 2

Calculemos det A por expansão na primeira linha:
det A =3cdotunderbracedet0&5&1-1&-2&63&2&3 -1cdotunderbracedet2&5&11&-2&6-2&2&3 +2cdotunderbracedet2&0&11&-1&6-2&3&3 -4cdotunderbracedet2&0&51&-1&-2-2&3&2
Calculando cada menor 3times 3 dá, respectivamente, 109,,-113,,-41,,13,
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det A=3cdot109-1cdot(-113)+2cdot(-41)-4cdot13=306

Passo 3

Definimos o cofator
Cij=(-1)^i+jdet(Mij),
onde Mij é o menor que sobra ao eliminar linha i e coluna j.
Para a primeira linha obtemos
C11=109, C12=113, C13=-41, C14=-13

Passo 4

De forma análoga, para as linhas 2 e 3 encontramos
(C21,C22,C23,C24)=(-40,,-92,,74,,16),
(C31,C32,C33,C34)=(-41,,-79,,7,,47)

Passo 5

E para a quarta linha:
(C41,C42,C43,C44)=(-50,,38,,16,,20)

Passo 6

A matriz dos cofatores é
Cof(A) = 109 & 113 & -41 & -13 -40 & -92 & 74 & 16 -41 & -79 & 7 & 47 -50 & 38 & 16 & 20
A adjunta é a transposta dessa matriz:
adj(A) = 109 & -40 & -41 & -50 113 & -92 & -79 & 38 -41 & 74 & 7 & 16 -13 & 16 & 47 & 20

Passo 7

Finalmente, usando
A^-1=1det A,adj(A) com det A=306,
temos
A^-1 =1306 109 & -40 & -41 & -50 113 & -92 & -79 & 38 -41 & 74 & 7 & 16 -13 & 16 & 47 & 20

Resposta

Matriz dos cofatores:
109 & 113 & -41 & -13 -40 & -92 & 74 & 16 -41 & -79 & 7 & 47 -50 & 38 & 16 & 20
Inversa:
A^-1 =1306 109 & -40 & -41 & -50 113 & -92 & -79 & 38 -41 & 74 & 7 & 16 -13 & 16 & 47 & 20

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