Exercício 2. (Apostol seção 1.5 exercício 31) Considere o conjunto
com a operação de soma e multiplicação por escalar definidas abaixo. Quando as operações abaixo definem espaços vetoriais? Se não definirem, justifique.
.
Passo 1
O enunciado apresenta em
as operações
Pergunta-se se com essas operações
vira um espaço vetorial sobre
. Para isso precisamos checar, entre outros,
se
é um grupo abeliano e
se valem as leis de distributividade do escalar.
Passo 2
Verificamos a existência de elemento neutro aditivo. Buscamos
tal que para todo
Pelo definido,
porém
fica livre. Ou seja, não há elemento neutro aditivo único, violando um dos axiomas de grupo.
Passo 3
Mesmo sem elemento neutro único, note que a adição não é comutativa em geral. De fato, para
e
,
se os primeiros componentes são diferentes, logo
e
se
Falta portanto a comutatividade.
Passo 4
Suponha que, apesar disso, queiramos checar pelo menos uma lei de distributividade:
enquanto
Para
temos
,
violando a distributividade de escalar sobre soma de escalares.
violando a distributividade de escalar sobre soma de escalares.
Resposta
As operações não definem espaço vetorial em
, pois falta elemento neutro aditivo único, falta comutatividade da soma e falha a distributividade de escalares.