Exercício 2. (Apostol seção 1.5 exercício 31) Considere o conjunto R^2 com a operação de soma e multiplicação por escalar definidas abaixo. Quando as operações abaixo definem espaços vetoriais? Se não definirem, justifique.
(x1, x2)+(y1, y2)=(x1, x2+y2) a(x1, x2)=(a x1, x2).

Passo 1

O enunciado apresenta em R^2 as operações
(x1,x2) + (y1,y2) = (x1,,x2 + y2) e a cdot (x1,x2) = (a,x1,,x2)
Pergunta-se se com essas operações R^2 vira um espaço vetorial sobre R. Para isso precisamos checar, entre outros, (i) se (R^2,+) é um grupo abeliano e (ii) se valem as leis de distributividade do escalar.

Passo 2

Verificamos a existência de elemento neutro aditivo. Buscamos e=(e1,e2) tal que para todo (x1,x2)
(x1,x2)+(e1,e2)=(x1,x2)
Pelo definido,
(x1,x2)+(e1,e2)=(x1,,x2+e2)=(x1,x2) ;Longrightarrow;e2=0,
porém e1 fica livre. Ou seja, não há elemento neutro aditivo único, violando um dos axiomas de grupo.

Passo 3

Mesmo sem elemento neutro único, note que a adição não é comutativa em geral. De fato, para
(x1,x2)+(y1,y2)=(x1,,x2+y2)
e
(y1,y2)+(x1,x2)=(y1,,y2+x2),
se x1neq y1 os primeiros componentes são diferentes, logo
(x1,x2)+(y1,y2)neq (y1,y2)+(x1,x2)
Falta portanto a comutatividade.

Passo 4

Suponha que, apesar disso, queiramos checar pelo menos uma lei de distributividade:
(a+b)cdot (x1,x2)=l((a+b)x1,;x2r),
enquanto
acdot(x1,x2)+bcdot(x1,x2) =(a x1,x2)+(b x1,x2) =l(a x1,;x2+x2r) =(a x1,;2x2)
Para x2neq0 temos
(a+b)cdot(x1,x2)neq acdot(x1,x2)+bcdot(x1,x2),
violando a distributividade de escalar sobre soma de escalares.

Resposta

As operações não definem espaço vetorial em R^2, pois falta elemento neutro aditivo único, falta comutatividade da soma e falha a distributividade de escalares.

Exercícios relacionados