Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a solução geral. Isso é uma equação de Bernoulli na forma
com
Para resolver usamos a substituição
Passo 2
Como
, temos
e
Substituindo em
resulta
Como
(caso
dá a solução trivial
), dividimos por
:
Essa é agora uma equação linear em
.
Passo 3
Para resolver
calculamos o fator integrante
Multiplicando toda a equação por
obtemos
isto é
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Para calcular
usamos integração por partes com
,
. Então
e
, e
Logo
Assim
Passo 5
Voltando à variável original
, lembramos que
. Então
logo a solução geral é
onde
é a constante arbitrária.
Resposta
com
.