Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
y^prime-y=x raizy

Passo 1

O enunciado dá a equação
y' - y = xraizy
e pede a solução geral. Isso é uma equação de Bernoulli na forma
y' + P(x),y = Q(x),y^n
com
P(x) = -1, Q(x)=x, n=tfrac12
Para resolver usamos a substituição
z = y^1-n = y^1-tfrac12 = y^tfrac12

Passo 2

Como z = y^1/2, temos
y = z^2
e
y' = ddx(z^2) = 2z,dzdx
Substituindo em y' - y = xraizy resulta
2z,dzdx - z^2 = x,z
Como zneq0 (caso z=0 dá a solução trivial yequiv0), dividimos por 2z:
dzdx - 12,z = x2
Essa é agora uma equação linear em z.

Passo 3

Para resolver
dzdx - 12,z = x2
calculamos o fator integrante
mu(x) = e^-integral12,dx = e^-x/2
Multiplicando toda a equação por mu(x) obtemos
e^-x/2dzdx - 12,e^-x/2z = x2e^-x/2,
isto é
ddxl(z,e^-x/2r) = x2,e^-x/2

Passo 4

Integramos ambos os lados:
z,e^-x/2 = integral x2,e^-x/2,dx + C
Para calcular
integral x2e^-x/2dx usamos integração por partes com
u = x, dv=e^-x/2dx. Então du=dx e v=-2e^-x/2, e
integral x,e^-x/2dx = x(-2e^-x/2) - integral(-2e^-x/2)dx = -2x,e^-x/2 -4,e^-x/2
Logo
integral x2e^-x/2dx = -x,e^-x/2 -2,e^-x/2
Assim
z,e^-x/2 = -x,e^-x/2 -2,e^-x/2 + C Longrightarrow z = -x -2 + C,e^x/2

Passo 5

Voltando à variável original y, lembramos que z=raizy. Então
raizy = C,e^x/2 - x - 2,
logo a solução geral é
y(x) = l(C,e^x/2 - x - 2r)^2,
onde C é a constante arbitrária.

Resposta

boxedy(x) = l(C,e^x/2 - x - 2r)^2,
com CinR.

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