Exercício 2. (Apostol seção 1.5 exercício 31) Considere o conjunto
com a operação de soma e multiplicação por escalar definidas abaixo. Quando as operações abaixo definem espaços vetoriais? Se não definirem, justifique.
.
Passo 1
O enunciado define em
a soma
e a multiplicação por escalar
Pergunta-se em que condições essas operações tornam
num espaço vetorial. Para responder, vamos verificar os axiomas principais de grupo abeliano para a soma e os axiomas de compatibilidade da multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos primeiro o elemento neutro aditivo
. Para ser neutro, deve satisfazer
Seja
. Então
Isso exige
para todo
. Mas
só pode valer para todo
se
e ainda for verdade que
. Como em
temos
negativo, não existe um único
que funcione para todos. Logo, não há elemento neutro para toda
.
Passo 3
Mesmo que ignorássemos o passo anterior, ainda precisaríamos do inverso aditivo de cada
. Para
ser inverso de
teríamos
Isso obriga
ou
com o valor absoluto dando zero, ou seja,
. Mas então
, ok; contudo,
deve pertencer ao mesmo conjunto de vetores. Se
, então
pode ser diferente de
e, ao combinar numa soma futura, voltamos ao problema do valor absoluto. Não existe inverso bem definido para todo
.
Passo 4
Além disso, um outro axioma crucial é a distributividade
Se
, o lado esquerdo é
enquanto o lado direito, usando nossa soma, é
Para igualdade precisamos de
o que equivale a
para todo
. Isso só ocorre se
e
tiverem sempre o mesmo sinal, o que não vale em
. Logo, falha a distributividade.
Passo 5
Como não há elemento neutro aditivo universal, nem inversos aditivos bem definidos, nem distributividade sobre soma de escalares, concluímos que nas operações dadas não se forma um espaço vetorial sobre
. A única maneira trivial de satisfazer todos os axiomas seria considerar apenas o conjunto zero
, que é o espaço vetorial nulo.
Resposta
As operações não definem um espaço vetorial em
. A única forma de obter um espaço vetorial seria restringir o conjunto aos vetores
, o espaço zero.