Exercício 2. (Apostol seção 1.5 exercício 31) Considere o conjunto R^2 com a operação de soma e multiplicação por escalar definidas abaixo. Quando as operações abaixo definem espaços vetoriais? Se não definirem, justifique.
(x1, x2)+(y1, y2)=(|x1+y1|,|x2+y2|) a(x1, x2)=(|a x1|,|a x2|).

Passo 1

O enunciado define em R^2 a soma
(x1,x2)+(y1,y2)=l(lvert x1+y1rvert,;lvert x2+y2rvertr)
e a multiplicação por escalar
a,(x1,x2)=l(lvert a,x1rvert,;lvert a,x2rvertr)
Pergunta-se em que condições essas operações tornam R^2 num espaço vetorial. Para responder, vamos verificar os axiomas principais de grupo abeliano para a soma e os axiomas de compatibilidade da multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos primeiro o elemento neutro aditivo 0V. Para ser neutro, deve satisfazer
(x1,x2)+0V=(x1,x2)
Seja 0V=(e1,e2). Então
(x1,x2)+0V =l(lvert x1+e1rvert,lvert x2+e2rvertr) stackrel!=(x1,x2)
Isso exige lvert xi+eirvert=xi para todo xiinR. Mas lvert xi+eirvert=xi só pode valer para todo xi se ei=0 e ainda for verdade que xi>=0. Como em R temos xi negativo, não existe um único ei que funcione para todos. Logo, não há elemento neutro para toda R^2.

Passo 3

Mesmo que ignorássemos o passo anterior, ainda precisaríamos do inverso aditivo de cada (x1,x2). Para u=(u1,u2) ser inverso de (x1,x2) teríamos
(x1,x2)+u=l(lvert x1+u1rvert,lvert x2+u2rvertr)=(0,0)
Isso obriga xi+ui=0 ou xi+ui=0 com o valor absoluto dando zero, ou seja, ui=-xi. Mas então
lvert xi+uirvert=lvert xi-xirvert=0, ok; contudo, u deve pertencer ao mesmo conjunto de vetores. Se xineq0, então -xi pode ser diferente de xi e, ao combinar numa soma futura, voltamos ao problema do valor absoluto. Não existe inverso bem definido para todo R^2.

Passo 4

Além disso, um outro axioma crucial é a distributividade
(a+b),v=a,v+b,v
Se v=(x1,x2), o lado esquerdo é
(a+b),v =l(lvert(a+b)x1rvert,lvert(a+b)x2rvertr),
enquanto o lado direito, usando nossa soma, é
a,v+b,v =l(lvert a x1rvert,lvert a x2rvertr) + l(lvert b x1rvert,lvert b x2rvertr) =l(lvertlvert a x1rvert+lvert b x1rvertrvert,dotsr) =l(lvert a x1rvert+lvert b x1rvert,dotsr)
Para igualdade precisamos de
lvert(a+b)x1rvert =lvert a x1rvert+lvert b x1rvert forall,a,b,x1,
o que equivale a lvert a+brvert=lvert arvert+lvert brvert para todo a,b. Isso só ocorre se a e b tiverem sempre o mesmo sinal, o que não vale em R. Logo, falha a distributividade.

Passo 5

Como não há elemento neutro aditivo universal, nem inversos aditivos bem definidos, nem distributividade sobre soma de escalares, concluímos que nas operações dadas não se forma um espaço vetorial sobre R. A única maneira trivial de satisfazer todos os axiomas seria considerar apenas o conjunto zero (0,0), que é o espaço vetorial nulo.

Resposta

As operações não definem um espaço vetorial em R^2. A única forma de obter um espaço vetorial seria restringir o conjunto aos vetores (0,0), o espaço zero.

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