Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede a solução geral pelo método de Bernoulli (Exemplo 5.2.12). Aqui reconhecemos que, ao dividir por
, ela fica na forma
que é uma equação de Bernoulli de expoente
. Para resolver, usaremos a substituição
transformando-a numa equação linear em
.
Passo 2
Escrevemos a Bernoulli em forma canônica:
onde
,
e
. A substituição
implica
ou seja
Passo 3
Multiplicamos a forma canônica por
para usar
:
Como
e
, isso vira
isto é
Passo 4
Resolvemos a linear em
por fator integrante. Temos
Multiplicando por
:
Integramos:
Usando
e
,
obtemos
obtemos
Dividindo por
:
Passo 5
Voltamos a
pela relação
, logo
Isso dá a solução geral
Resposta
onde
é constante arbitrária.