Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
x y^prime=y+x y^3(1+ln x)

Passo 1

O enunciado dá a equação
x,y' = y + x,y^3(1 + ln x)
e pede a solução geral pelo método de Bernoulli (Exemplo 5.2.12). Aqui reconhecemos que, ao dividir por x, ela fica na forma
y' - 1x,y = (1+ln x),y^3,
que é uma equação de Bernoulli de expoente n=3. Para resolver, usaremos a substituição
u = y^1-n = y^-2,
transformando-a numa equação linear em u.

Passo 2

Escrevemos a Bernoulli em forma canônica:
y' + p(x),y = q(x),y^n,
onde p(x) = -1/x, q(x)=1+ln x e n=3. A substituição u = y^1-n=y^-2 implica
u' = ddxl(y^-2r) = -2,y^-3,y',
ou seja
y' = -tfrac12,y^3,u'

Passo 3

Multiplicamos a forma canônica por y^-3 para usar u:
y^-3y' - 1x,y^-2 = 1 + ln x
Como y^-3y' = -(1/2)u' e y^-2=u, isso vira
-tfrac12,u' - 1x,u = 1 + ln x,
isto é
u' + 2x,u = -2,(1+ln x)

Passo 4

Resolvemos a linear em u por fator integrante. Temos
mu(x) = exp!l(integral tfrac2x,dxr) = x^2
Multiplicando por x^2:
l(x^2ur)' = x^2,l[-2 - 2ln xr]
Integramos:
x^2u = -2integral x^2,dx ;-;2integral x^2ln x,dx + C
Usando integral x^2dx = x^3/3 e
integral x^2ln x,dx = x^33l(ln x - tfrac13r),
obtemos
x^2u = -23x^3 ;-;23x^3ln x + 29x^3 + C = -23x^3ln x - 49x^3 + C
Dividindo por x^2:
u = -23,xln x ;-;49,x ;+;C,x^-2

Passo 5

Voltamos a y pela relação u=y^-2, logo
y^-2 = -23,xln x - 49,x + C,x^-2
Isso dá a solução geral
y(x) = pm l(-tfrac23,xln x - tfrac49,x + C,x^-2r)^-tfrac12

Resposta

y(x) = pm l(-tfrac23,xln x - tfrac49,x + C,x^-2r)^-tfrac12,
onde C é constante arbitrária.

Exercícios relacionados