Exercício 5. (Apostol, seção 3.6, exercício 3)
a) Prove que
b) Ache as fórmulas correspondentes para os determinantes abaixo:
det(ccc 1 & 1 & 1 a & b & c a^3 & b^3 & c^3 ) e det(ccc 1 & 1 & 1 a^2 & b^2 & c^2 a^3 & b^3 & c^3 )
Passo 1
O enunciado pede para calcular determinantes de matrizes 3times 3 cujas colunas são formadas por potências de a,b,c. O conteúdo é determinantes (em particular o determinante de Vandermonde) e usaremos operações elementares em colunas e/ou o fato de que todo polinômio antissimétrico em a,b,c é divisível por (b-a)(c-a)(c-b).
Passo 2
Prova de
det 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 =(b-a)(c-a)(c-b)