Exercício 5. (Apostol, seção 3.6, exercício 3)
a) Prove que
det(ccc 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 )=(b-a)(c-a)(c-b)
b) Ache as fórmulas correspondentes para os determinantes abaixo:
det(ccc 1 & 1 & 1 a & b & c a^3 & b^3 & c^3 ) e det(ccc 1 & 1 & 1 a^2 & b^2 & c^2 a^3 & b^3 & c^3 )

Passo 1

O enunciado pede para calcular determinantes de matrizes 3times 3 cujas colunas são formadas por potências de a,b,c. O conteúdo é determinantes (em particular o determinante de Vandermonde) e usaremos operações elementares em colunas e/ou o fato de que todo polinômio antissimétrico em a,b,c é divisível por (b-a)(c-a)(c-b).

Passo 2

Prova de
det 1 & 1 & 1 a & b & c a^2 & b^2 & c^2 =(b-a)(c-a)(c-b)
Fazemos as operações elementares em colunas:
C2 C2-C1, C3 C3-C1,
sem alterar o determinante. Isso dá a matriz
1 & 0 & 0 a & b-a & c-a a^2 & (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a)
Expandindo pela primeira linha só resta o menor
det b-a & c-a (b-a)(b+a) & (c-a)(c+a) =(b-a)(c-a)l[(c+a)-(b+a)r] =(b-a)(c-a)(c-b)

Passo 3

Cálculo de
D1=det 1 & 1 & 1 a & b & c a^3 & b^3 & c^3
Note que D1 é um polinômio antissimétrico em a,b,c de grau total 0+1+3=4, logo é divisível por
(b-a)(c-a)(c-b)
que é de grau 3. O quociente é então um polinômio simétrico de grau 4-3=1, portanto da forma
k,(a+b+c)
Para achar k basta escolher um caso simples, por exemplo (a,b,c)=(1,2,0), em que D1=6 como pode ser verificado diretamente, e
(b-a)(c-a)(c-b)(a+b+c)=(2-1)(0-1)(0-2)(1+2+0)=6
Logo k=1 e
D1=(b-a)(c-a)(c-b),(a+b+c)

Passo 4

Cálculo de
Analogamente, é antissimétrico de grau , logo divisível por de grau . O quociente é simétrico de grau , logo pode ser escrito
Para determinar vamos tomar . Então
Por outro lado
Comparando com vemos que e . Assim

Resposta

a)
b )
b )

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