Use a Regra de L’Hôspital para calcular o seguinte limite: lim x 0 6 x-2 sen 3 x9 x^3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto06x - 2,sen3x9x^3
usando a regra de L’H^opital. Vamos verificar que temos uma forma indeterminada 0/0 e, em seguida, aplicar derivação sucessiva no numerador e denominador até obtermos um limite que dê valor definido.

Passo 2

Ao substituir x=0 temos numerador 6cdot0 - 2sen(0)=0 e denominador 9cdot0^3=0, ou seja, forma 0/0. Aplicando L’H^opital pela primeira vez:
limxto06x - 2,sen3x9x^3 = limxto0ddx(6x - 2,sen3x)ddx(9x^3) = limxto06 - 2cdot3cos3x27x^2 = limxto06 - 6cos3x27x^2

Passo 3

Ainda temos indeterminação 0/0 pois 6-6cos0=0 e 27cdot0^2=0. Aplicamos L’H^opital outra vez:
limxto06 - 6cos3x27x^2 = limxto0ddx(6 - 6cos3x)ddx(27x^2) = limxto018sin3x54x

Passo 4

Ainda é 0/0 porque sin0=0 e 54cdot0=0. Aplico L’H^opital pela terceira vez:
limxto018sin3x54x = limxto0ddx(18sin3x)ddx(54x) = limxto054cos3x54

Passo 5

Agora não há mais indeterminação: substituindo x=0 em 54cos3x54 obtemos 54cdot154=1.

Resposta

1

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