Mostre que lim n infty(1+xn)^n=e^x.

Passo 1

O enunciado quer mostrar que
limntoinftyl(1 + tfracxnr)^n = e^x
O conteúdo envolve limites de sequências, definição do número e e uso do logaritmo natural. O truque é aplicar o ln para “traçar” a potência.

Passo 2

Defina a sequência
an = l(1 + tfracxnr)^n
Como ln(u^n) = n,ln(u), considere
ln(an) = n ,ln!l(1 + tfracxnr)

Passo 3

Para avaliar limntoinftyln(an), use o limite clássico
limhto0ln(1+h)h = 1
Tomando h = x/n, temos hto0 e
limntoinftylnl(1 + x/nr)x/n = 1
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ln(an) = n,ln!l(1 + tfracxnr) = xcdotln(1 + x/n)x/n ;longrightarrow; x

Passo 4

Como a exponencial é contínua, conclui-se
limntoinftyan = limntoinftye^ln(an) = e^limntoinftyln(an) = e^x

Resposta

limntoinftyl(1 + tfracxnr)^n = e^x

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