Seja f: D(f) subset[0, infty) R. f é uma função par? Existe alguma função par g tal que se x in D(f), f(x)=g(x) ? Se sim, construa um exemplo de tal função par.

Passo 1

O enunciado dá uma função f com domínio D(f)subset[0,infty) e pergunta se ela pode ser “par” e, em caso afirmativo, construir um exemplo de uma função par g que coincida com f em D(f). Vamos usar o conceito de função par e a ideia de estender f pelo valor absoluto.

Passo 2

Uma função h é dita par se o seu domínio é simétrico em torno de zero (isto é, xin D(h) implica -xin D(h)) e satisfaz
h(-x)=h(x)
para todo xin D(h).

Passo 3

Como D(f)subset[0,infty) não é simétrico, f não pode ser par em si mesma. Mas podemos definir uma extensão g sobre um domínio simétrico. Seja
D(g)=,xinRmid |x|in D(f)
e defina
g(x)=fl(|x|r)
Então D(g) é simétrico e
g(-x)=fl(|-x|r)=fl(|x|r)=g(x),
logo g é par.

Passo 4

Para verificar que g coincide com f em D(f), note que se xin D(f)subset[0,infty) então |x|=x e
g(x)=fl(|x|r)=f(x)
Portanto g satisfaz exatamente g(x)=f(x) para todo xin D(f).

Passo 5

Exemplo concreto: seja f(x)=raizx com D(f)=[0,infty). Então
g(x)=raizlvert xrvert, D(g)=R,
é par (pois g(-x)=raiz|-x|=raiz|x|=g(x)) e coincide com f em [0,infty).

Resposta

Sim. Uma extensão par é
D(g)=xinRmid |x|in D(f), g(x)=fl(|x|r)
Por exemplo, se f(x)=raizx, então g(x)=raiz|x| é par e satisfaz g(x)=f(x) para todo x>=0.

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