Seja
.
é uma função par? Existe alguma função par
tal que se
,
? Se sim, construa um exemplo de tal função par.
Passo 1
O enunciado dá uma função
com domínio
e pergunta se ela pode ser “par” e, em caso afirmativo, construir um exemplo de uma função par
que coincida com
em
. Vamos usar o conceito de função par e a ideia de estender
pelo valor absoluto.
Passo 2
Uma função
é dita par se o seu domínio é simétrico em torno de zero (isto é,
implica
) e satisfaz
para todo
.
Passo 3
Como
não é simétrico,
não pode ser par em si mesma. Mas podemos definir uma extensão
sobre um domínio simétrico. Seja
e defina
Então
é simétrico e
logo
é par.
Passo 4
Para verificar que
coincide com
em
, note que se
então
e
Portanto
satisfaz exatamente
para todo
.
Passo 5
Exemplo concreto: seja
com
. Então
é par (pois
) e coincide com
em
.
Resposta
Sim. Uma extensão par é
Por exemplo, se
, então
é par e satisfaz
para todo
.