Exercício 6. (Apostol, seção 3.6, exercício 6)
Sejam f1 f2 g1 g2:] a, b[ R funções diferenciáveis. Prove que
dd x(det(cc f1(x) & f2(x) g1(x) & g2(x) ))=det(cc d f1d x(x) & d f2d x(x) g1(x) & g2(x) )+det(cc f1(x) & f2(x) d g1d x(x) & d g2d x(x) )
Qual seria a generalização deste resultado para matrizes n times n ? Tente generalizar.

Passo 1

O enunciado pede para diferenciarmos a função
usando que todas as quatro funções são diferenciáveis. O conteúdo principal é a aplicação da regra do produto e a observação de que a expressão obtida se reorganiza em duas determinantes.

Passo 2

Aplicamos a regra do produto a cada termo de D(x)=f1(x),g2(x)-f2(x),g1(x). Assim,
dDdx =ddxl(f1,g2r) -ddxl(f2,g1r) =f'1,g2+f1,g'2 -l(f'2,g1+f2,g'1r)

Passo 3

Reagrupando os quatro termos obtemos
Mas cada par corresponde a um determinante:
Logo surge exatamente a fórmula desejada:

Passo 4

Para generalizar a ntimes n basta usar a multilinearidade do determinante e a regra do produto em cada termo da expansão de Laplace. Se A(x)=(aij(x)) é uma matriz de entradas diferenciáveis, então cada termo da expansão de det A(x) é um produto de n fatores a1,sigma(1),a2,sigma(2)cdots an,sigma(n). Ao derivar, a regra do produto gera uma soma de n termos em que, em cada termo, exatamente uma das linhas foi diferenciada.

Resposta

Para uma matriz A(x)inR^ntimes n de entradas diferenciáveis, tem-se
ddxdet A(x) =sumk=1^ndet linha1 A(x) vdots linhak-1 A(x) ddxl(linhak A(x)r) linhak+1 A(x) vdots linhan A(x)
Equivalentemente, esta é a fórmula de Jacobi:
ddxdet A(x) =trl(adj(A(x)),A'(x)r),
onde adj(A) é a adjunta de A e A'(x) é a matriz das derivadas de cada entrada.

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