Qual seria a generalização deste resultado para matrizes ? Tente generalizar.
Passo 1
O enunciado pede para diferenciarmos a função
usando que todas as quatro funções são diferenciáveis. O conteúdo principal é a aplicação da regra do produto e a observação de que a expressão obtida se reorganiza em duas determinantes.
Passo 2
Aplicamos a regra do produto a cada termo de . Assim,
Passo 3
Reagrupando os quatro termos obtemos
Mas cada par corresponde a um determinante:
Logo surge exatamente a fórmula desejada:
Passo 4
Para generalizar a basta usar a multilinearidade do determinante e a regra do produto em cada termo da expansão de Laplace. Se é uma matriz de entradas diferenciáveis, então cada termo da expansão de é um produto de fatores . Ao derivar, a regra do produto gera uma soma de termos em que, em cada termo, exatamente uma das linhas foi diferenciada.
Resposta
Para uma matriz de entradas diferenciáveis, tem-se
Equivalentemente, esta é a fórmula de Jacobi:
ddxdet A(x) =trl(adj(A(x)),A'(x)r),
onde adj(A) é a adjunta de A e A'(x) é a matriz das derivadas de cada entrada.