Uma partícula se move sobre uma reta vertical de forma que sua coordenada no instante t é y=t^3-12 t+3, t >= 0.
(a) Encontre as funções velocidade e aceleração.
(b) Quando a partícula está acelerando? Quando está freando?

Passo 1

O enunciado dá a posição vertical de uma partícula em função do tempo t>=0 por
y(t)=t^3-12,t+3
e pede (a) as funções velocidade v(t) e aceleração a(t) e (b) os intervalos em que a partícula acelera ou freia. Vamos usar derivação para obter v(t) e a(t) e depois analisar o sinal de cada uma.

Passo 2

A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Logo,
v(t)=y'(t)=ddtl(t^3-12,t+3r)=3,t^2-12

Passo 3

A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Assim,
a(t)=v'(t)=ddtl(3,t^2-12r)=6,t

Passo 4

Para classificar aceleração/frenagem, precisamos do sinal de v(t) e de a(t):
v(t)=3,(t^2-4)=0Longrightarrow t=2,
e como 3>0,
v(t)<0 se 0<= t<2, v(t)>0 se t>2
a(t)=6,t é zero em t=0 e positiva para todo t>0.

Passo 5

  • A partícula está acelerando quando v(t) e a(t) têm o mesmo sinal (velocidade aumenta em módulo): isso ocorre para t>2, pois v(t)>0 e a(t)>0.
  • A partícula está freando quando v(t) e a(t) têm sinais opostos (velocidade diminui em módulo): isso ocorre para 0<t<2, pois v(t)<0 mas a(t)>0.

Resposta

(a) v(t)=3,t^2-12 e a(t)=6,t.
(b) A partícula está freando em 0<t<2 e acelerando em t>2.

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