Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo.
y^prime+4x y=x^4

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + 4x,y = x^4
e pede a solução geral pelo Método de Variação dos Parâmetros (MVP).
Aqui vamos primeiro achar a solução homogênea yh de
y' + 4x,y = 0
e depois usar yp = C(x),yh para obter uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea
y' + 4x,y = 0
separamos variáveis:
y'y = -4x
Integrando em x:
ln|y| = -4ln|x| + K
implies yh = C,x^-4

Passo 3

Pelo MVP, tomamos
yp = C(x),x^-4
Calculamos a derivada:
yp' = C'(x),x^-4 + C(x),(-4),x^-5
Substituindo em y' + tfrac4xy = x^4, o termo em C(x) cancela:
yp' + 4x,yp = C'(x),x^-4 + C(x)l(-4x^-5 + 4x^-5r) = C'(x),x^-4
Logo, impomos
C'(x),x^-4 = x^4
implies C'(x) = x^8

Passo 4

Integramos para encontrar C(x):
C(x) = integral x^8,dx = x^99 + C1
A constante C1 pode ser absorvida em yh, então usamos
C(x) = x^99
Assim
yp = x^99,x^-4 = x^59

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y = yh + yp = C,x^-4 + x^59

Resposta

y(x) = C,x^-4 + x^59,
em que C é constante arbitrária.

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