Exercício 8. (Apostol seção 4.4 exercícios 11 e 12) Seja T: V V uma transformação linear.
a) Mostre que se u e v são autovalores associados a lambda e mu, lambda neq mu, respectivamente, então se a u+b v é um autovetor de T se, e somente se, a=0 ou b=0.
b) Mostre que se todo elemento de V diferente de 0 é uma autovetor de T então T=c I. (Dica: use a))

Passo 1

O enunciado trata de uma transformação linear T:Vto V e de autovetores.
a) Temos u e v tais que
T(u)=lambda,u, T(v)=mu,v,
com lambdaneqmu. Precisamos mostrar que w=a,u+b,v é autovetor de T se, e somente se, a=0 ou b=0.
b) Se todo xneq0 em V é autovetor de T, então devemos concluir que T=c,I para algum escalar c. A dica é usar o resultado de (a).

Passo 2

Prova de (a).
“Se” é fácil: se a=0 então w=b,vneq0 e
T(w)=b,T(v)=b,mu,v=mu,w,
logo w é autovetor de autovalor mu. Caso b=0 é análogo.
“Somente se”: suponha que w=a,u+b,vneq0 seja autovetor, digamos
T(w)=nu,w
Então
a,T(u)+b,T(v)=a,lambda,u+b,mu,v =nu,(a,u+b,v) =nu,a,u+nu,b,v
Reagrupando:
a,(lambda-nu),u;+;b,(mu-nu),v=0
Como u e v são autovetores de valores próprios distintos, eles são independentes; daí os coeficientes devem ser nulos:
a,(lambda-nu)=0, b,(mu-nu)=0
Se aneq0 então nu=lambda, e se também bneq0 então nu=mu; isso forçaria lambda=mu, contradição. Logo não podem ambos ser não nulos, isto é, ou a=0 ou b=0.

Passo 3

Prova de (b).
Pela hipótese todo xneq0 é autovetor, digamos
T(u)=lambda,u, T(v)=mu,v
com u,vneq0. Se lambdaneqmu, então u+v também seria autovetor, mas pelos coeficientes iguais a 1 no somatório o resultado de (a) diz que isso exigiria 1=0, absurdo. Logo lambda=mu. Como u e v eram vetores arbitrários de Vsetminus0, todos os não-nulos têm o mesmo autovalor, digamos c. Assim para todo xin V
T(x)=c,x,
ou seja, T=c,I.

Resposta

a) Provado que a,u+b,v é autovetor de T só se a=0 ou b=0.
b) Conclui-se que T=c,I para algum escalar c.

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