Exercício 8. (Apostol seção 4.4 exercícios 11 e 12) Seja
uma transformação linear.
a) Mostre que se
e
são autovalores associados a
e
, respectivamente, então se
é um autovetor de
se, e somente se,
ou
.
b) Mostre que se todo elemento de
diferente de 0 é uma autovetor de
então
. (Dica: use a))
a) Mostre que se
b) Mostre que se todo elemento de
Passo 1
O enunciado trata de uma transformação linear
e de autovetores.
a) Temos e
tais que
a) Temos
com
. Precisamos mostrar que
é autovetor de
se, e somente se,
ou
.
b) Se todo em
é autovetor de
, então devemos concluir que
para algum escalar
. A dica é usar o resultado de (a).
b) Se todo
Passo 2
Prova de (a).
“Se” é fácil: se então
e
“Se” é fácil: se
logo
é autovetor de autovalor
. Caso
é análogo.
“Somente se”: suponha que
seja autovetor, digamos
Então
Reagrupando:
Como
e
são autovetores de valores próprios distintos, eles são independentes; daí os coeficientes devem ser nulos:
Se
então
, e se também
então
; isso forçaria
, contradição. Logo não podem ambos ser não nulos, isto é, ou
ou
.
Passo 3
Prova de (b).
Pela hipótese todo é autovetor, digamos
Pela hipótese todo
com
. Se
, então
também seria autovetor, mas pelos coeficientes iguais a
no somatório o resultado de (a) diz que isso exigiria
, absurdo. Logo
. Como
e
eram vetores arbitrários de
, todos os não-nulos têm o mesmo autovalor, digamos
. Assim para todo
ou seja,
.
Resposta
a) Provado que
é autovetor de
só se
ou
.
b) Conclui-se que para algum escalar
.
b) Conclui-se que