Encontre a solução geral das seguintes edo’s:
y^(4)+5 y^prime prime prime=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de ordem quatro com coeficientes constantes
y^(4) + 5,y''' = 0
Para resolver, vamos usar o método da equação característica: assumimos uma solução da forma y=e^r x e obtemos um polinômio em r.

Passo 2

Assumindo y=e^r x, temos
y' = r e^r x, y''=r^2 e^r x, y'''=r^3 e^r x, y^(4)=r^4 e^r x,
logo, substituindo na eq. diferencial, obtemos a equação característica
r^4 e^r x + 5,r^3 e^r x = 0 Longrightarrow r^4 + 5,r^3 = 0

Passo 3

Fatorando o polinômio em r:
r^4 + 5r^3 = r^3,(r + 5) = 0
Disto seguem-se as raízes:
r = 0(mu<iplicidade 3), r = -5(mu<iplicidade 1)

Passo 4

Para cada raiz real de multiplicidade m geramos as soluções independentes
e^r x,; x e^r x,; x^2 e^r x,;dots,; x^m-1e^r x
No nosso caso:
  • Para r=0 e m=3, as soluções são 1,; x,; x^2.
  • Para r=-5 simples, a solução é e^-5x.
    Assim, a solução geral é a combinação linear dessas quatro soluções independentes.

Resposta

boxedy(x) = C1 + C2,x + C3,x^2 + C4,e^-5x,
em que C1,C2,C3,C4 são constantes arbitrárias.

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