Calcule as seguintes integrais
integral 2 x^2-1x^3-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 2x^2-1x^3-x,dx
O conteúdo principal aqui é a decomposição em frações parciais, já que temos uma função racional cujo denominador fatora em x(x-1)(x+1).

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
x^3-x = x,(x^2-1) = x,(x-1),(x+1)
Então escrevemos
2x^2-1x(x-1)(x+1) = Ax + Bx-1 + Cx+1
Multiplicando ambos os lados por x(x-1)(x+1), obtemos
2x^2-1 = A,(x-1)(x+1) + B,x(x+1) + C,x(x-1)

Passo 3

Expandindo o lado direito:
Comparando coeficientes com
Daí vem , e de segue , logo .

Passo 4

Substituindo na integral,
2x^2-1x^3-x = 1x + 1/2x-1 + 1/2x+1,
então
integral 2x^2-1x^3-x,dx = integral 1x,dx + tfrac12 integral 1x-1,dx + tfrac12 integral 1x+1,dx
Integramos termo a termo usando integral 1u,du = ln|u|:
integral 1x,dx = ln|x|, integral 1x-1,dx = ln|x-1|, integral 1x+1,dx = ln|x+1|

Resposta

boxed integral 2x^2-1x^3-x,dx = lnl|xr| + tfrac12,lnl|x-1r| + tfrac12,lnl|x+1r| + C

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