Determine:
a derivada em x=0 da função f(x) e^f(2 g(x)), sabendo que f(0)=2, f^prime(0)=3, g(0)=0, g^prime(0)=1 / 6.

Passo 1

O enunciado pede a derivada em x=0 da função
varphi(x)=f(x),e^f(2g(x)),
onde sabemos que ;f(0)=2,;f'(0)=3,;g(0)=0,;g'(0)=tfrac16. Vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Pela regra do produto,
varphi'(x) = f'(x),e^f(2g(x)) + f(x),ddxl(e^f(2g(x))r)
E pela regra da cadeia,
ddxe^f(2g(x)) = e^f(2g(x)),l(f'(2g(x))cdot 2,g'(x)r)
Logo,
varphi'(x) = e^f(2g(x))l[f'(x)+f(x),f'(2g(x))cdot2,g'(x)r]

Passo 3

Agora avalia em x=0. Como g(0)=0, temos 2g(0)=0 e f(2g(0))=f(0)=2, então e^f(2g(0))=e^2. Substituindo também f'(0)=3, f(0)=2 e g'(0)=tfrac16:
varphi'(0) = e^2l[3 + 2cdot3cdot2cdottfrac16r]

Passo 4

Calcule a parte dentro dos colchetes:
2cdot3cdot2cdottfrac16 = 126=2,
logo
varphi'(0) = e^2,(3+2) =5e^2

Resposta

5e^2

Exercícios relacionados