Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x)=-f(-x), \forall x \in \mathbb{R}).
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x)=-f(-x), \forall x \in \mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado define o conjunto
ou seja, todas as funções ímpares. Queremos ver se
é um subespaço (e portanto um espaço vetorial) de todo o espaço de funções
equipado com soma e multiplicação por escalar usuais.
Passo 2
Verificamos se o vetor zero (função nula) está em
. A função nula
satisfaz
logo
. Assim
não é vazio e contém o elemento neutro.
Passo 3
Testamos a soma: dadas
, temos para todo
Logo
também satisfaz a condição de imparidade, isto é
. Assim
é fechado sob adição.
Passo 4
Testamos a multiplicação por escalar: para
e
,
Logo
. Assim
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, segue que
é um subespaço vetorial do espaço de todas as funções
.
Resposta
O conjunto das funções ímpares
é um espaço vetorial.