Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x)=-f(-x), \forall x \in \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado define o conjunto
V = ,f:RtoRmid f(x) = -,f(-x) forall xinR,
ou seja, todas as funções ímpares. Queremos ver se V é um subespaço (e portanto um espaço vetorial) de todo o espaço de funções RtoR equipado com soma e multiplicação por escalar usuais.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (função nula) está em V. A função nula 0(x)=0 satisfaz
0(x) = 0 = -0 = -,0(-x),
logo 0in V. Assim V não é vazio e contém o elemento neutro.

Passo 3

Testamos a soma: dadas f,gin V, temos para todo x
(f+g)(-x) = f(-x)+g(-x) = -f(x) - g(x) = -l(f(x)+g(x)r) = -(f+g)(x)
Logo f+g também satisfaz a condição de imparidade, isto é f+gin V. Assim V é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a multiplicação por escalar: para fin V e alphainR,
(alpha f)(-x) = alpha,f(-x) = alphal(-f(x)r) = -l(alpha f(x)r) = -(alpha f)(x)
Logo alpha fin V. Assim V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como V contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, segue que V é um subespaço vetorial do espaço de todas as funções RtoR.

Resposta

O conjunto das funções ímpares f(x)=-f(-x) é um espaço vetorial.

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