Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x+2 \pi)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}).
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x+2 \pi)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}).
Passo 1
O enunciado apresenta o conjunto
e pede para verificar se
é um espaço vetorial (subespaço do espaço de todas as funções reais) com as operações usuais.
Passo 2
Verificamos se a função zero está em
. A função zero
satisfaz
para todo
. Logo,
.
Passo 3
Fechamento em relação à soma: sejam
. Então
ou seja,
também é
-periódica e pertence a
.
Passo 4
Fechamento em relação à multiplicação por escalar: se
e
,
logo
.
Resposta
O conjunto das funções que satisfazem
é um espaço vetorial (subespaço).