Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (f(x+2 \pi)=f(x), \forall x \in \mathbb{R}).

Passo 1

O enunciado apresenta o conjunto
V = ,f:RtoRmid f(x+2pi)=f(x);forall xinR
e pede para verificar se V é um espaço vetorial (subespaço do espaço de todas as funções reais) com as operações usuais.

Passo 2

Verificamos se a função zero está em V. A função zero ;0(x)=0 satisfaz
0(x+2pi)=0 = 0(x)
para todo x. Logo, 0in V.

Passo 3

Fechamento em relação à soma: sejam f,gin V. Então
(f+g)(x+2pi)=f(x+2pi)+g(x+2pi)=f(x)+g(x)=(f+g)(x),
ou seja, f+g também é 2pi-periódica e pertence a V.

Passo 4

Fechamento em relação à multiplicação por escalar: se fin V e alphainR,
(alpha f)(x+2pi)=alpha,f(x+2pi)=alpha,f(x)=(alpha f)(x),
logo alpha fin V.

Resposta

O conjunto das funções que satisfazem f(x+2pi)=f(x) é um espaço vetorial (subespaço).

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