Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (\int_{0}^{1} f(x) d x \geq 0).

Passo 1

O enunciado pede para determinar se o conjunto
S = l,f:RtoRmid integral0^1f(x),dx >= 0r
é um subespaço vetorial de V, o espaço de todas as funções reais com as operações usuais. Para isso vamos usar a definição de subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado em soma e em multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se a função zero 0(x)=0 pertence a S. Como
integral0^10(x),dx = 0 >= 0,
temos 0in S. Logo, S não é vazio e contém o zero.

Passo 3

Testamos a fechadura em soma: sejam f,gin S. Então
integral0^1f(x),dx >= 0 e integral0^1g(x),dx >= 0
Da linearidade do integral segue
integral0^1l(f(x)+g(x)r),dx = integral0^1f(x),dx + integral0^1g(x),dx >= 0,
logo f+gin S. Assim, S é fechado sob adição.

Passo 4

Testamos a fechadura em multiplicação escalar. Seja fin S com
integral0^1f(x),dx > 0. Tome o escalar alpha = -1. Então
integral0^1(-1),f(x),dx = -integral0^1f(x),dx < 0,
logo -fnotin S. Falha a exigência de fechadura em multiplicação por escalar.

Resposta

O conjunto S não é um espaço vetorial.

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