Exercício 1. (Apostol seção 1.5 exercícios (1,5,8,9,12,14,17,25) )
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (\int_{0}^{1} f(x) d x \geq 0).
Para os itens a) até g), considere os seguintes subconjuntos das funções (f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}) com a operação de soma entre funções e multiplicação por escalar definidas de maneira usual. Quais dos conjuntos abaixo são espaços vetoriais?
Conjunto das funções tais que: (\int_{0}^{1} f(x) d x \geq 0).
Passo 1
O enunciado pede para determinar se o conjunto
é um subespaço vetorial de
, o espaço de todas as funções reais com as operações usuais. Para isso vamos usar a definição de subespaço: deve conter o vetor zero, ser fechado em soma e em multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos se a função zero
pertence a
. Como
temos
. Logo,
não é vazio e contém o zero.
Passo 3
Testamos a fechadura em soma: sejam
. Então
Da linearidade do integral segue
logo
. Assim,
é fechado sob adição.
Passo 4
Testamos a fechadura em multiplicação escalar. Seja
com
. Tome o escalar
. Então
logo
. Falha a exigência de fechadura em multiplicação por escalar.
Resposta
O conjunto
não é um espaço vetorial.