1. (a) Mostre que o gráfico de f, definida por f(x)=a x^2+b x+c, é côncavo para cima se a>0 e é côncavo para baixo se a<0.
    (b) Se lim x 0^+(c x+1)^cotg x=e^-pi, ache o valor de c.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) mostrar que o polinômio f(x)=a x^2+b x+c é côncavo para cima se a>0 e côncavo para baixo se a<0.
(b) calcular o limite
limxto0^+(c x+1)^cot x=e^-pi
e daí achar o valor de c.
Para (a) vamos usar derivadas (segunda derivada e concavidade) e para (b) vamos usar logaritmo e os limites fundamentais sin xsim x, ln(1+u)sim u.

Passo 2

Determinar a concavidade de f.
Derivando,
f'(x)=2ax+b,
e de novo
f''(x)=2a
Como a concavidade é dada pelo sinal de f'', segue que:
  • Se a>0 então f''(x)=2a>0 para todo x, logo f é côncava para cima.
  • Se a<0 então f''(x)=2a<0 para todo x, logo f é côncava para baixo.

Passo 3

Definir o limite da parte (b) e tomar logaritmo.
Seja
L=limxto0^+(1+cx)^cot x
Então
ln L =limxto0^+cot x;ln(1+cx)

Passo 4

Avaliar ln L usando as aproximações para xto0:
sin xsim x, cos xto1 e ln(1+cx)sim cx.
Como cot x=cos xsin x, temos
ln L =limxto0^+cos xsin x,ln(1+cx) ;sim; limxto0^+1x,(c x) ;=;c
Logo
L=e^ln L=e^c

Passo 5

Impor o valor do limite dado:
L=e^c=e^-pi Longrightarrow c=-pi

Resposta

(a) f é côncava para cima se a>0 e côncava para baixo se a<0.
(b) c=-pi.

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