- (a) Mostre que o gráfico de
, definida por
, é côncavo para cima se
e é côncavo para baixo se
.
(b) Se
, ache o valor de
.
(b) Se
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) mostrar que o polinômio é côncavo para cima se
e côncavo para baixo se
.
(b) calcular o limite
(a) mostrar que o polinômio
(b) calcular o limite
e daí achar o valor de
.
Para (a) vamos usar derivadas (segunda derivada e concavidade) e para (b) vamos usar logaritmo e os limites fundamentais ,
.
Para (a) vamos usar derivadas (segunda derivada e concavidade) e para (b) vamos usar logaritmo e os limites fundamentais
Passo 2
Determinar a concavidade de
.
Derivando,
Derivando,
e de novo
Como a concavidade é dada pelo sinal de
, segue que:
- Se
então para todo , logo é côncava para cima. - Se
então para todo , logo é côncava para baixo.
Passo 3
Definir o limite da parte (b) e tomar logaritmo.
Seja
Seja
Então
Passo 4
Avaliar
usando as aproximações para
:
,
e
.
Como , temos
Como
Logo
Passo 5
Impor o valor do limite dado:
Resposta
(a)
é côncava para cima se
e côncava para baixo se
.
(b) .
(b)