Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
e queremos a sua solução geral usando o método de Bernoulli (Exemplo 5.2.12). Aqui o conteúdo é Equações de Bernoulli, que têm a forma
Vamos reescrever a equação no formato padrão e depois aplicar a substituição apropriada.
Passo 2
Reescrevemos
como
Comparando com o padrão
, vemos que
Passo 3
No método de Bernoulli, fazemos a substituição
Assim
. Para encontrar
, derivamos:
Passo 4
Substituindo
da equação original e
em
, temos
onde usamos
e
. Logo obtemos a equação linear em
:
Passo 5
Para resolver
usamos fator integrante
. Multiplicando a equação por
dá
Integrando ambos os lados em
:
onde
é constante de integração. Portanto
Passo 6
Voltando à variável original
, obtemos a solução geral
com
constante arbitrária.