Usando o método do Exemplo 5.2.12 encontre a solução geral das seguintes equações de Bernoulli:
d xd y=x^2-x

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a equação diferencial
dxdy = x^2 - x
e queremos a sua solução geral usando o método de Bernoulli (Exemplo 5.2.12). Aqui o conteúdo é Equações de Bernoulli, que têm a forma
dxdy + P(y),x = Q(y),x^n
Vamos reescrever a equação no formato padrão e depois aplicar a substituição apropriada.

Passo 2

Reescrevemos
dxdy = x^2 - x
como
dxdy + x = x^2
Comparando com o padrão dxdy + P(y),x = Q(y),x^n, vemos que
P(y)=1, Q(y)=1, n=2

Passo 3

No método de Bernoulli, fazemos a substituição
u = x^1-n = x^1-2 = x^-1
Assim x = u^-1. Para encontrar du/dy, derivamos:
u = x^-1 Longrightarrow dudy = -1cdot x^-2,dxdy

Passo 4

Substituindo dxdy da equação original e x^-2 = u^2 em dudy, temos
dudy = -x^-2,dxdy = -u^2l(x^2-xr) = -u^2x^2 + u^2x = -1 + u,
onde usamos u^2x^2=(x^-1)^2x^2=1 e u^2x=(x^-1)^2x=x^-1=u. Logo obtemos a equação linear em u:
dudy - u = -1

Passo 5

Para resolver
dudy - u = -1
usamos fator integrante mu(y)=e^-integral1,dy=e^-y. Multiplicando a equação por e^-y
e^-ydudy - e^-yu = -e^-y Longrightarrow ddyl(u,e^-yr) = -e^-y
Integrando ambos os lados em y:
u,e^-y = integral -e^-y,dy = e^-y + C,
onde C é constante de integração. Portanto
u = 1 + C,e^y

Passo 6

Voltando à variável original x = u^-1, obtemos a solução geral
x(y) = 1u = 11 + C,e^y,
com C constante arbitrária.

Resposta

boxedx(y) = 11 + C,e^y, CinR

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