Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & a \ b & 1\end{array}\\right)\, a, b>0\
\\left(\\begin{array}{ll}1 & a \ b & 1\end{array}\\right)\, a, b>0\
Passo 1
O enunciado nos dá a matriz
com
. Precisamos encontrar os autovalores
, os autovetores não nulos associados e a dimensão de cada autoespaço. Vamos usar o polinômio característico
e, em seguida, resolver
.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico:
Passo 3
Resolver
:
Portanto, os dois autovalores são
Passo 4
Autovetor para
. O sistema
dá
Escolhendo
ficamos com o autovetor
Passo 5
Autovetor para
. O sistema
dá
Escolhendo
obtemos
Passo 6
Como
, cada autoespaço é gerado por um único vetor não nulo, logo cada dimensão de autoespaço é
.