Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ll}1 & a \ b & 1\end{array}\\right)\, a, b>0\

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
M = 1 & a [-6pt] b & 1,
com a,b>0. Precisamos encontrar os autovalores lambda, os autovetores não nulos associados e a dimensão de cada autoespaço. Vamos usar o polinômio característico det(M-lambda I)=0 e, em seguida, resolver (M-lambda I)x=0.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico:
chi(lambda) = det!1-lambda & a [-3pt] b & 1-lambda = (1-lambda)^2 - ab ]

Passo 3

Resolver chi(lambda)=0:
(1-lambda)^2 - ab = 0 Longrightarrow 1-lambda = pmraizab Longrightarrow lambda = 1 pm raizab
Portanto, os dois autovalores são
lambda1 = 1 + raizab, lambda2 = 1 - raizab

Passo 4

Autovetor para lambda1 = 1+raizab. O sistema (M-lambda1 I)(x,y)^T=0
(1-lambda1)x + a,y = -raizab,x + a,y = 0 Longrightarrow y = raizaba,x = raizba,x
Escolhendo x=raiza ficamos com o autovetor
v1 = raiza[-3pt]raizb ]

Passo 5

Autovetor para lambda2 = 1-raizab. O sistema (M-lambda2 I)(x,y)^T=0
(1-lambda2)x + a,y = raizab,x + a,y = 0 Longrightarrow y = -raizba,x
Escolhendo x=raiza obtemos
v2 = raiza[-3pt]-raizb ]

Passo 6

Como lambda1neqlambda2, cada autoespaço é gerado por um único vetor não nulo, logo cada dimensão de autoespaço é 1.

Resposta

lambda1 = 1 + raizab, autovetor raizaraizb, dimensão do autoespaço =1.
lambda2 = 1 - raizab, autovetor raiza-raizb, dimensão do autoespaço =1.

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