Exercício 9. (Apostol seção 4.8 exercícios 1,2,3,7) Para cada uma das matrizes abaixo, determine os autovalores, os autovetores e a dimensão do autoespaço.
\\left(\\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \ -3 & 1 & 0 \ 4 & -7 & 1\end{array}\\right)\’

Passo 1

O enunciado pede, para a matriz
A = 1 & 0 & 0 -3 & 1 & 0 4 & -7 & 1 ,
que a gente encontre os autovalores, os autovetores e a dimensão de cada autoespaço. O conteúdo é teoria de autovalores e autovetores: primeiro achamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0, depois resolvemos (A - lambda I)x=0 para obter os autovetores e por fim contamos sua dimensão.

Passo 2

Como A é triangular superior, seu polinômio característico é o produto dos termos da diagonal menos lambda:
det(A - lambda I) = (1-lambda),(1-lambda),(1-lambda) = (1-lambda)^3
Logo o único autovalor é
lambda = 1,
com multiplicidade algébrica igual a 3.

Passo 3

Para achar os autovetores resolvemos
Isso dá as equações
de onde e então , ficando livre. Logo os autovetores são todos os múltiplos de

Passo 4

O espaço de soluções de (A - I)x=0 é gerado por um único vetor, então a dimensão do autoespaço associado a lambda=1 é 1.

Resposta

O único autovalor é lambda=1 (mult. algébrica 3).
Os autovetores são todos os múltiplos de l(0,0,1r)^T.
A dimensão do autoespaço é 1.

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