Calcule os seguintes limites, se existirem:
lim x 2 raizx+2-2raiz[4]x+2-raiz2

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto2raizx+2-2raiz[4]x+2-raiz2
que é um caso de forma indeterminada 0/0. Vamos usar manipulação algébrica e fatoração de diferença de quadrados para resolver.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada: ao fazermos xto2 temos
raizx+2toraiz4=2 e raiz[4]x+2toraiz[4]4=2^1/2=raiz2.
Então numerador e denominador tendem a zero, confirmando 0/0.

Passo 3

Definimos a variável auxiliar
t = raiz[4]x+2,
de modo que raizx+2 = t^2. O limite original fica
limxto2raizx+2-2raiz[4]x+2-raiz2 = limttoraiz2t^2 - 2,t - raiz2,

Passo 4

Aplicamos a fatoração de diferença de quadrados no numerador:
t^2 - 2 = (t - raiz2)(t + raiz2)
Cancelando o fator (t - raiz2) em numerador e denominador, obtemos
limttoraiz2 (t + raiz2)

Passo 5

Voltando a x, temos t = raiz[4]x+2. Logo
limxto2( raiz[4]x+2 + raiz2 ) = raiz[4]4 + raiz2 = raiz2 + raiz2 = 2raiz2

Resposta

;2raiz2

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