Calcule:
lim x 1^+(ln x)^sen(pi x);

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1^+(ln x)^sen(pi x)
O conteúdo envolve limites de formas indeterminadas do tipo 0^0. Vamos usar a reescrita em termos de exponencial para resolver.

Passo 2

Observamos que, quando xto1^+, temos
ln xto0^+ e sen(pi x)to0,
logo aparece a indeterminação 0^0. Para contornar, definimos
f(x)=(ln x)^sen(pi x)
e escrevemos
f(x) =expl(lnl[(ln x)^sen(pi x)r]r) =expl(sen(pi x),ln(ln x)r)

Passo 3

Calculamos o limite do expoente:
limxto1^+sen(pi x),ln(ln x)
Faça x=1+t com tto0^+. Então
ln x=ln(1+t)sim t e
sen(pi x)=sen(pi+pi t)=-sen(pi t)sim -pi t.
Logo
sen(pi x),ln(ln x) sim -pi,t;ln t
Como limtto0^+tln t=0, concluímos que
limxto1^+sen(pi x),ln(ln x)=0

Passo 4

Portanto, voltando a f(x), obtemos
limxto1^+f(x) =expl(limxto1^+sen(pi x),ln(ln x)r) =exp(0) =1

Resposta

1

Exercícios relacionados