Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere
um espaço vetorial,
uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de
:
.
Passo 1
O enunciado define o espaço
e a transformação linear
Queremos achar todos os pares
tais que
isto é, os autovalores
e os autovetores
.
Passo 2
Escrevendo a equação de autovalor temos
Para prosseguir, assumimos que
é diferenciável e justificamos poder derivar sob o sinal de integral.
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a
, pelo Teorema de Barrow (derivada do integral de função dependente do limite superior), vem
e
Logo a equação diferencial é
Passo 4
Reescrevendo como equação separável,
Integrando ambos os lados,
onde
é constante não nula.
Passo 5
Falta verificar na equação original e exigir convergência do integral em
. Substituindo em
Fazendo
, tem-se
Portanto
Para que o limite em
seja zero, precisamos que
quando
, ou seja,
. Nesse caso o integral converge e a igualdade vale identicamente. Se
, o integral diverge ou não satisfaz a equação não-trivial.
Resposta
Os autovalores são todos os
.
Para cada , um autovetor correspondente é
Para cada
com
.