Exercício 7. (Apostol seção 4.4 exercícios 5, 7, 8, 9) Para cada uma das situações abaixo, considere V um espaço vetorial, T: V V uma transformação linear e ache os autovalores e autovetores de T :
V=f in C(R), exists integral0^x t f(t) d t, forall x in R, T f=integral-infty^x t f(t) d t.

Passo 1

O enunciado define o espaço
V = lfin C(R) mid o integral integral0^x t,f(t),dt existe para todo xr
e a transformação linear
Tcolon Vto V, (T f)(x)=integral-infty^xt,f(t),dt
Queremos achar todos os pares (lambda,f) tais que
T f = lambda,f,
isto é, os autovalores lambda e os autovetores f.

Passo 2

Escrevendo a equação de autovalor temos
integral-infty^xt,f(t),dt ;=;lambda,f(x)
Para prosseguir, assumimos que f é diferenciável e justificamos poder derivar sob o sinal de integral.

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a x, pelo Teorema de Barrow (derivada do integral de função dependente do limite superior), vem
ddxl[integral-infty^xt,f(t),dtr] = x,f(x),
e
ddxl[lambda,f(x)r] = lambda,f'(x)
Logo a equação diferencial é
x,f(x) = lambda,f'(x)

Passo 4

Reescrevendo como equação separável,
f'(x)f(x) = xlambda
Integrando ambos os lados,
ln|f(x)| = integral xlambda,dx = x^22lambda + C1 Longrightarrow f(x)=C,e^,x^2/(2lambda),
onde C=e^C1 é constante não nula.

Passo 5

Falta verificar na equação original e exigir convergência do integral em -infty. Substituindo em
integral-infty^xt,C,e^t^2/(2lambda),dt ;=;lambda,C,e^x^2/(2lambda)
Fazendo u=t^2/(2lambda), tem-se
integral t,e^t^2/(2lambda),dt = lambda,e^t^2/(2lambda) + const
Portanto
integral-infty^xt,e^t^2/(2lambda),dt = lambda,e^x^2/(2lambda) - limtto-inftylambda,e^t^2/(2lambda)
Para que o limite em -infty seja zero, precisamos que t^2/(2lambda)to -infty quando ttopminfty, ou seja, lambda<0. Nesse caso o integral converge e a igualdade vale identicamente. Se lambda>=0, o integral diverge ou não satisfaz a equação não-trivial.

Resposta

Os autovalores são todos os lambda<0.
Para cada lambda<0, um autovetor correspondente é
f(x)=C,exp!l(tfracx^22lambdar),
com Cneq0.

Exercícios relacionados