Encontre a solução geral das seguintes edo’s:
8 y^prime prime+4 y^prime+y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
8y'' + 4y' + y = 0
O que vamos usar é o método do polinômio característico: assumimos y=e^rx e obtemos uma equação algébrica para r.

Passo 2

Substituindo y=e^rx na equação, temos
8r^2 e^rx + 4r e^rx + 1cdot e^rx = 0,
e como e^rxneq0, surge o polinômio característico
8r^2 + 4r + 1 = 0
Calculamos o discriminante:
De<a = 4^2 - 4cdot8cdot1 = 16 - 32 = -16,
logo as raízes são
r = -4 pm raiz-162cdot8 = -4 pm 4i16 = -tfrac14 pm tfraci4

Passo 3

Como as raízes são complexas conjugadas r = alpha pm ibeta com alpha = -tfrac14 e beta = tfrac14, a solução geral é
y(x) = e^alpha xl(C1cos(beta x) + C2sin(beta x)r) = e^-tfracx4l(C1cos(tfracx4) + C2sin(tfracx4)r),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Resposta

boxedy(x) = e^-tfracx4l(C1cosl(tfracx4r) + C2sinl(tfracx4r)r)

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