Sejam
e
funções de
em
definidas por,
e
. Quais delas são uniformemente contínuas em
?
Passo 1
O enunciado dá as funções
,
,
e
todas definidas em . Queremos saber quais são uniformemente contínuas em
. Lembrando que uma função
é uniformemente contínua em um domínio
se
e
todas definidas em
Passo 2
Verificamos
. Para ver que não é uniformemente contínua, fixe um
. Se escolhermos
então, tomando
, temos
, mas
que pode ser maior que
para
suficientemente grande. Logo
não é uniformemente contínua.
Passo 3
Para
usamos a desigualdade trigonométrica
Isso mostra que
é Lipschitziana (com constante
) e, portanto, uniformemente contínua em
.
Passo 4
Para
aplicamos o Teorema do Valor Médio. Calculando
vemos que, para todo
,
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer
existe
entre eles tal que
Logo
é Lipschitziana e, portanto, uniformemente contínua.
Passo 5
Para
use-se a técnica clássica: para
,
Dado
, basta escolher
. Se
então
mostrando que
é uniformemente contínua.
Resposta
As funções uniformemente contínuas em
são