Sejam f, g, h e k funções de [0,+\infty) em \mathbb{R} definidas por, f(x)=x^{2}, g(x)=\cos x, h(x)= \frac{1}{1+x} \cos x^{2} e k(x)=\sqrt{x}. Quais delas são uniformemente contínuas em [0,+\infty) ?

Passo 1

O enunciado dá as funções f(x)=x^{2}, g(x)=\cos x, h(x)=\frac{1}{1+x}\cos(x^{2})
e k(x)=\sqrt{x}
todas definidas em [0,+\infty). Queremos saber quais são uniformemente contínuas em [0,+\infty). Lembrando que uma função F é uniformemente contínua em um domínio D se
\forall \varepsilon>0\;\exists \delta>0\;\forall x,y\in D:\;|x-y|<\delta\implies |F(x)-F(y)|<\varepsilon.

Passo 2

Verificamos f(x)=x^{2}. Para ver que não é uniformemente contínua, fixe um \delta>0. Se escolhermos
x\quad\text{grande tal que}\quad 2x\,\delta\ge \varepsilon,
então, tomando y=x+\tfrac\delta2, temos |x-y|=\tfrac\delta2<\delta, mas
|f(x)-f(y)| = |x^{2}-(x+\tfrac\delta2)^{2}| = | -2x\cdot\tfrac\delta2 -(\tfrac\delta2)^{2}| \ge x\,\delta - \tfrac{\delta^{2}}{4},
que pode ser maior que \varepsilon para x suficientemente grande. Logo f não é uniformemente contínua.

Passo 3

Para g(x)=\cos x usamos a desigualdade trigonométrica
|\cos x - \cos y|\le |x-y|.
Isso mostra que g é Lipschitziana (com constante 1) e, portanto, uniformemente contínua em [0,+\infty).

Passo 4

Para
h(x)=\frac{1}{1+x}\cos(x^{2})
aplicamos o Teorema do Valor Médio. Calculando
h'(x)=-\frac{\cos(x^{2})}{(1+x)^{2}}-\frac{2x\,\sin(x^{2})}{1+x},
vemos que, para todo x\ge0,
|h'(x)| \le \frac{1}{(1+x)^{2}} + \frac{2x}{1+x} \le 1 + 2 = 3.
Pelo Teorema do Valor Médio, para quaisquer x,y\ge0 existe c entre eles tal que
|h(x)-h(y)| = |h'\text{(c)}|\,|x-y|\le 3\,|x-y|.
Logo h é Lipschitziana e, portanto, uniformemente contínua.

Passo 5

Para k(x)=\sqrt{x} use-se a técnica clássica: para x,y\ge0,
|\sqrt{x}-\sqrt{y}| = \frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} \le \sqrt{|x-y|}.
Dado \varepsilon>0, basta escolher \delta=\varepsilon^{2}. Se |x-y|<\delta então
|\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le \sqrt{|x-y|}<\sqrt{\delta}=\varepsilon,
mostrando que k é uniformemente contínua.

Resposta

As funções uniformemente contínuas em [0,+\infty) são
g,\quad h\quad\text{e}\quad k.

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