Prove as seguintes identidades vetoriais usando a notação algébrica. Considere
um campo escalar
um campo vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade vetorial
onde
é um campo escalar e
é um campo vetorial. Informações relevantes dadas:
-
é uma função escalar de ; -
tem componentes , cada ; - A identidade a provar envolve o operador rotacional (curl) e produtos entre escalar e vetor.
Passo 2
Vou trabalhar em notação algébrica por componentes. Primeiro defino as notações que vou usar e dou uma pequena “aula” sobre elas:
- Derivada parcial:
significa . - Convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados automaticamente (por exemplo,
). - Epsilon de Levi-Civita:
é o símbolo totalmente anti‑simétrico com . Ele é usado para escrever produtos vetoriais por componentes. - Definição componente a componente do rotacional de um campo
:
Explico a fórmula: para cada
a componente
do rotacional é soma sinalizada das derivadas cruzadas das componentes de
, e a notação com
codifica isso de forma compacta.
Passo 3
Escrevo a quantidade que queremos calcular, componente a componente. Seja
, ou seja
. Então, pela definição:
Aqui apliquei diretamente a definição do rotacional à função vetorial
.
Passo 4
Aplico a regra do produto (Leibniz) às derivadas parciais dentro da expressão anterior. A regra diz que
. Substituindo:
Passo 5
Distribuo o
e separo as duas parcelas:
Repare que em cada termo posso interpretar a forma componente como um produto vetorial conhecido:
- O primeiro termo é exatamente a componente
do vetor , porque por definição
Aqui
é o vetor das derivadas parciais
.
- O segundo termo pode tirar o escalar
para fora da soma (pois é função escalar) e fica
Passo 6
Juntando as interpretações das duas parcelas obtemos, para cada componente
,
Como isso vale para
, a igualdade vetorial segue:
Isso encerra a prova algébrica por componentes.