Prove as seguintes identidades vetoriais usando a notação algébrica. Considere \boldsymbol{u}= u\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) um campo escalar \mathrm{e} \vec{V}=\vec{V}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) um campo vetorial.
\nabla \times(u \vec{V})=(\nabla u) \times \vec{V}+u(\nabla \times \vec{V})

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade vetorial
\nabla \times (u\vec{V}) = (\nabla u)\times \vec{V} + u(\nabla \times \vec{V}),
onde u = u(x_1,x_2,x_3) é um campo escalar e \vec{V}=\vec{V}(x_1,x_2,x_3) é um campo vetorial. Informações relevantes dadas:
  • u é uma função escalar de (x_1,x_2,x_3);
  • \vec{V} tem componentes \vec{V}=(V_1,V_2,V_3), cada V_k=V_k(x_1,x_2,x_3);
  • A identidade a provar envolve o operador rotacional (curl) e produtos entre escalar e vetor.

Passo 2

Vou trabalhar em notação algébrica por componentes. Primeiro defino as notações que vou usar e dou uma pequena “aula” sobre elas:
  • Derivada parcial: \partial_j significa \dfrac{\partial}{\partial x_j}.
  • Convenção de soma de Einstein: índices repetidos são somados automaticamente (por exemplo, a_j b_j = \sum_{j=1}^3 a_j b_j).
  • Epsilon de Levi-Civita: \varepsilon_{ijk} é o símbolo totalmente anti‑simétrico com \varepsilon_{123}=+1. Ele é usado para escrever produtos vetoriais por componentes.
  • Definição componente a componente do rotacional de um campo \vec{W}=(W_1,W_2,W_3):
(\nabla\times \vec{W})_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j W_k.
Explico a fórmula: para cada i\in\{1,2,3\} a componente i do rotacional é soma sinalizada das derivadas cruzadas das componentes de \vec{W}, e a notação com \varepsilon_{ijk} codifica isso de forma compacta.

Passo 3

Escrevo a quantidade que queremos calcular, componente a componente. Seja \vec{W}=u\vec{V}, ou seja W_k = u\,V_k. Então, pela definição:
(\nabla\times(u\vec{V}))_i = \varepsilon_{ijk}\,\partial_j (u\,V_k).
Aqui apliquei diretamente a definição do rotacional à função vetorial u\vec{V}.

Passo 4

Aplico a regra do produto (Leibniz) às derivadas parciais dentro da expressão anterior. A regra diz que \partial_j (u\,V_k) = (\partial_j u)\,V_k + u\,(\partial_j V_k). Substituindo:
(\nabla\times(u\vec{V}))_i = \varepsilon_{ijk}\big[(\partial_j u)\,V_k + u\,(\partial_j V_k)\big].

Passo 5

Distribuo o \varepsilon_{ijk} e separo as duas parcelas:
(\nabla\times(u\vec{V}))_i = \varepsilon_{ijk}(\partial_j u)\,V_k \;+\; \varepsilon_{ijk}\,u\,(\partial_j V_k).
Repare que em cada termo posso interpretar a forma componente como um produto vetorial conhecido:
  • O primeiro termo é exatamente a componente i do vetor (\nabla u)\times \vec{V}, porque por definição
((\nabla u)\times \vec{V})_i = \varepsilon_{ijk}\,(\partial_j u)\,V_k.
Aqui \nabla u é o vetor das derivadas parciais (\partial_1 u,\partial_2 u,\partial_3 u).
  • O segundo termo pode tirar o escalar u para fora da soma (pois é função escalar) e fica
\varepsilon_{ijk}\,u\,(\partial_j V_k) = u\,\varepsilon_{ijk}\,(\partial_j V_k) = u\,(\nabla\times \vec{V})_i.

Passo 6

Juntando as interpretações das duas parcelas obtemos, para cada componente i,
(\nabla\times(u\vec{V}))_i = ((\nabla u)\times \vec{V})_i + u\,(\nabla\times \vec{V})_i.
Como isso vale para i=1,2,3, a igualdade vetorial segue:
\nabla\times(u\vec{V}) = (\nabla u)\times \vec{V} + u(\nabla\times \vec{V}).
Isso encerra a prova algébrica por componentes.

Resposta

\nabla\times(u\vec{V}) = (\nabla u)\times \vec{V} + u(\nabla\times \vec{V})

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