Exercício 7 Uma arma é disparada na horizontal de uma posição x_{0}=0 e de uma altura y_{0}=h, com a bala saindo da arma a uma rapidez v_{0 x}.
(a) Mostre que
\vec{r}(t)=\left(v_{0 x} t\right) \hat{i}+\left(h-\frac{g t^{2}}{2}\right) \hat{j}, \quad \vec{v}(t)=v_{0 x} \hat{i}-g t \hat{j}
(b) Mostre que o tempo que leva para a bala atingir o chão é de t=\sqrt{2 h / g}. Comente o motivo desse tempo não depender da velocidade v_{0 x} do tiro.
(c) Qual a velocidade e rapidez com que a bala atinge o chão? Comente se ela depende da velocidade v_{0 x} do tiro.

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (recapitulando com clareza):
  • Dados fornecidos:
    • Posição inicial: \,x_{0}=0 e \,y_{0}=h.
    • A bala é disparada horizontalmente, ou seja a velocidade inicial tem componente horizontal não nula e componente vertical nula. Especificamente a rapidez horizontal inicial é \,v_{0x} e \,v_{0y}=0.
    • A aceleração é a gravidade dirigida para baixo, com módulo \,g (tomamos o eixo y positivo para cima).
  • O que o enunciado pede:
    (a) Mostrar as expressões de posição \vec{r}(t) e velocidade \vec{v}(t) em função do tempo.
    (b) Mostrar que o tempo até a bala atingir o chão é \,t=\sqrt{2h/g} e comentar por que esse tempo não depende de \,v_{0x}.
    (c) Determinar a velocidade vetorial e a rapidez (módulo da velocidade) com que a bala atinge o chão e comentar a dependência com \,v_{0x}.

Passo 2

Entendendo as componentes e a aceleração (regrinha básica que vamos usar).
  • Como o disparo é horizontal, podemos trabalhar por componentes: toda grandeza vetorial decomponível em componentes x e y.
  • A aceleração devido à gravidade é somente vertical para baixo. Em notação vetorial:
\vec{a}(t) = -g\,\hat{j}.
Aqui \,g>0 é o valor da aceleração da gravidade, e \hat{j} é o versor vertical para cima; o sinal negativo indica que a aceleração aponta para baixo.
  • Condições iniciais de velocidade:
\vec{v}(0) = v_{0x}\,\hat{i} + 0\cdot\hat{j} = v_{0x}\,\hat{i}.
  • Condição inicial de posição:
\vec{r}(0) = x_{0}\,\hat{i} + y_{0}\,\hat{j} = 0\cdot\hat{i} + h\,\hat{j} = h\,\hat{j}.

Passo 3

Derivando \vec{v}(t) (integrando a aceleração).
  • Usamos que a velocidade é a integral da aceleração: \vec{v}(t)=\vec{v}(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}\vec{a}(t')\,dt'.
  • Substituindo \vec{a}(t')=-g\,\hat{j} (constante) e \vec{v}(0)=v_{0x}\,\hat{i}:
\vec{v}(t) = v_{0x}\,\hat{i} + \int_{0}^{t}(-g\,\hat{j})\,dt' = v_{0x}\,\hat{i} - g\left(\int_{0}^{t}dt'\right)\hat{j}.
  • Calculando a integral \int_{0}^{t}dt' = t, obtemos
\vec{v}(t)=v_{0x}\,\hat{i} - g t\,\hat{j}.
Isto mostra que a componente horizontal da velocidade é constante ( v_x(t)=v_{0x}) e a componente vertical cresce (em módulo) linearmente com o tempo devido à gravidade ( v_y(t)=-g t).

Passo 4

Derivando \vec{r}(t) (integrando a velocidade).
  • A posição é a integral da velocidade: \vec{r}(t)=\vec{r}(0)+\displaystyle\int_{0}^{t}\vec{v}(t')\,dt'.
  • Substituindo \vec{v}(t')=v_{0x}\,\hat{i}-g t'\,\hat{j} e \vec{r}(0)=h\,\hat{j}:
\vec{r}(t)=h\,\hat{j}+\int_{0}^{t}\big(v_{0x}\,\hat{i}-g t'\,\hat{j}\big)\,dt'.
  • Integrando componente a componente:
    • Para x: \displaystyle\int_{0}^{t} v_{0x}\,dt' = v_{0x} t.
    • Para y: \displaystyle\int_{0}^{t}(-g t')\,dt' = -g\frac{t^{2}}{2}.
  • Assim
\vec{r}(t) = \big(v_{0x} t\big)\hat{i} + \left(h-\frac{g t^{2}}{2}\right)\hat{j}.
  • Essas são exatamente as fórmulas pedidas em (a). Elas mostram explicitamente o movimento retilíneo uniforme na direção x e o movimento uniformemente acelerado (queda livre) na direção y.

Passo 5

Resolvendo o tempo de queda (parte (b)).
  • A bala atinge o chão quando a coordenada vertical y(t) chega a zero. Da expressão de \vec{r}(t) temos
y(t)=h-\frac{g t^{2}}{2}.
  • Impor y(t)=0 e resolver para t:
0 = h-\frac{g t^{2}}{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{g t^{2}}{2}=h\quad\Longrightarrow\quad t^{2}=\frac{2h}{g}.
  • Tomando a raiz quadrada e escolhendo a solução física t>0,
t=\sqrt{\frac{2h}{g}}.
  • Comentário sobre independência de \,v_{0x}: a equação usada para encontrar t envolve apenas a componente vertical do movimento (não aparece v_{0x}). Isso ocorre porque as equações do movimento nas direções x e y são independentes (desacopladas) quando a única aceleração é vertical. A componente horizontal não influencia a queda vertical: a gravidade determina sozinha quanto tempo o objeto leva para cair uma altura h.

Passo 6

Calculando a velocidade e a rapidez no impacto (parte (c)).
  • A velocidade vetorial no instante genérico t é \vec{v}(t)=v_{0x}\,\hat{i}-g t\,\hat{j}.
  • No tempo de impacto t=\sqrt{2h/g} substituímos para achar a velocidade no instante em que toca o chão:
    • Componente horizontal no impacto:
    v_x(\text{impacto}) = v_{0x}.
    • Componente vertical no impacto:
    v_y(\text{impacto}) = -g\left(\sqrt{\frac{2h}{g}}\right) = -\sqrt{2 g h}.(o sinal negativo indica direção para baixo).
  • Portanto o vetor velocidade no impacto é
\vec{v}_{\text{impacto}} = v_{0x}\,\hat{i} - \sqrt{2 g h}\,\hat{j}.
  • A rapidez (módulo da velocidade) no impacto é
\begin{aligned} v_{\text{rapidez}} &= \big\|\vec{v}_{\text{impacto}}\big\| = \sqrt{v_{0x}^{2} + \big(-\sqrt{2 g h}\big)^{2}} \\\ &= \sqrt{v_{0x}^{2} + 2 g h}. \end{aligned}
  • Comentários sobre dependência com v_{0x}:
    • A componente vertical final \,-\sqrt{2 g h} NÃO depende de v_{0x}: isso é consistente com a independência das direções. A velocidade vertical no impacto depende apenas da altura inicial h (quanto tempo a gravidade atuou).
    • A rapidez (módulo) depende de v_{0x} porque combina a componente horizontal (que depende de v_{0x}) com a componente vertical. Assim, quanto maior v_{0x}, maior será a rapidez final; mas a contribuição vertical à energia cinética no impacto vem exclusivamente da queda de altura h.
    • Observação energética (intuição extra): a energia cinética final é \tfrac{1}{2}m v_{0x}^{2} + m g h (assumindo sem resistência do ar). A parte m g h vem da conversão da energia potencial gravitacional em energia cinética vertical, independente de v_{0x}.

Resposta

(a) \vec{r}(t)=\left(v_{0x} t\right)\hat{i}+\left(h-\dfrac{g t^{2}}{2}\right)\hat{j},\quad \vec{v}(t)=v_{0x}\hat{i}-g t\hat{j}
(b) t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}
(c) \vec{v}_{\text{impacto}}=v_{0x}\hat{i}-\sqrt{2 g h}\,\hat{j},\quad v_{\text{rapidez}}=\sqrt{v_{0x}^{2}+2 g h}

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