Exercício 6 Uma partícula é lançada a partir do ponto \left(x_{0}, y_{0}\right) com velocidade inicial de módulo v_{0}, formando um ângulo \theta com a horizontal. Considere que a única força atuando sobre a partícula é a gravidade, de modo que sua aceleração é constante e dada por
\vec{a}=-g \hat{\jmath}
(a) Sendo v_{0 x} \mathrm{e} v_{0 y} constantes (as componentes do vetor velocidade de lançamento do projétil), derive, com relação ao tempo,
\vec{v}(t)=v_{0 x} \hat{i}+\left(v_{0 y}-g t\right) \hat{j}
para mostrar que o resultado é a aceleração \vec{a} acima.
(b) Sendo x_{0} e y_{0} constantes (o ponto de lançamento do projétil), derive, com relação ao tempo,
\vec{r}(t)=\left(x_{0}+v_{0 x} t\right) \hat{i}+\left(y_{0}+v_{0 y} t-\frac{g t^{2}}{2}\right) \hat{j}
para mostrar que o resultado é a velocidade \vec{v}(t) acima.
(c) Mostre que a velocidade inicial de lançamento do projétil pode ser escrita como \vec{v}_{0}=v_{0} \cos \theta \hat{i}+v_{0} \sin \theta \hat{j}. Substitua v_{0 x}=v_{0} \cos \theta e v_{0 y}=v_{0} \sin \theta nas equações acima.
(d) Justifique que o movimento na direção x é uniforme, enquanto na direção y é uniformemente variado.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte cenário e pede quatro coisas claras:
  • Dados fornecidos:
    • Aceleração constante da partícula: \vec{a}=-g\hat{\jmath}, onde g>0 é a aceleração da gravidade e \hat{\jmath} é o versor vertical para cima.
    • Ponto de lançamento fixo: x_0 e y_0 (constantes).
    • Velocidade inicial de lançamento com componentes constantes: v_{0x} e v_{0y}.
    • Módulo da velocidade inicial: v_0 e ângulo de lançamento \theta medido a partir da horizontal.
  • Perguntas pedidas:
    (a) Partindo de v_{0x} e v_{0y} constantes, derive \vec{v}(t)=v_{0x}\hat{\imath}+\bigl(v_{0y}-gt\bigr)\hat{\jmath} e mostre que a derivada dessa \vec{v}(t) é \vec{a}.
    (b) Partindo de x_0 e y_0 constantes, derive \vec{r}(t)=\bigl(x_0+v_{0x}t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2\bigr)\hat{\jmath} e mostre que a derivada de \vec{r}(t) é \vec{v}(t).
    (c) Mostre a decomposição trigonométrica \vec{v}_0=v_0\cos\theta\,\hat{\imath}+v_0\sin\theta\,\hat{\jmath} e substitua v_{0x}=v_0\cos\theta e v_{0y}=v_0\sin\theta nas equações anteriores.
    (d) Justifique por que o movimento em x é uniforme e em y é uniformemente variado.

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática bem mastigada):
  • Relação entre aceleração, velocidade e posição:
    • A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo: \vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.Isso significa: a aceleração diz como a velocidade muda com o tempo.
    • A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo: \vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt}.Isso significa: a velocidade diz como a posição muda com o tempo.
  • Para recuperar velocidade a partir da aceleração usamos integração no tempo (antiderivada). Se \vec{a}(t) é conhecida e \vec{v}(0)=\vec{v}_0 é a velocidade inicial, então \vec{v}(t)=\vec{v}_0+\int_0^t \vec{a}(t')\,dt'.A constante de integração é a velocidade inicial.
  • Para recuperar posição a partir da velocidade usamos novamente integração: \vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_0^t \vec{v}(t')\,dt',onde \vec{r}_0=(x_0,y_0) é a posição inicial (constante de integração).
  • Vamos trabalhar componente a componente: escrever vetores na base \{\hat{\imath},\hat{\jmath}\} e integrar as componentes separadamente. Isso facilita porque integração e derivação atuam em cada componente.

Passo 3

Temos a aceleração constante
\vec{a}=-g\hat{\jmath}.
Escrevendo em componentes:
a_x=0,\qquad a_y=-g.
Agora integramos cada componente no tempo, usando a condição inicial \vec{v}(0)=\vec{v}_0=v_{0x}\hat{\imath}+v_{0y}\hat{\jmath}.
  • Para a componente x:
    \frac{dv_x}{dt}=a_x=0.
    Integrando de 0 a t:
    v_x(t)=v_x(0)+\int_0^t 0\,dt' = v_{0x}.
    Então v_x(t)=v_{0x} (constante no tempo).
  • Para a componente y:
    \frac{dv_y}{dt}=a_y=-g.
    Integrando de 0 a t:
    v_y(t)=v_y(0)+\int_0^t (-g)\,dt' = v_{0y}-g t.
    Então v_y(t)=v_{0y}-g t.
Juntando componentes em forma vetorial:
\vec{v}(t)=v_{0x}\hat{\imath}+\bigl(v_{0y}-g t\bigr)\hat{\jmath},
que é exatamente a expressão pedida.

Passo 4

Agora mostramos que diferenciando \vec{v}(t) obtemos \vec{a}.
  • Derivando componente x: \frac{d}{dt}v_x(t)=\frac{d}{dt}v_{0x}=0.
  • Derivando componente y: \frac{d}{dt}v_y(t)=\frac{d}{dt}\bigl(v_{0y}-gt\bigr)=-g.
Assim,
\frac{d\vec{v}}{dt}=0\cdot\hat{\imath}+(-g)\hat{\jmath}=-g\hat{\jmath}=\vec{a}.
Portanto a \vec{v}(t) encontrada é coerente com a aceleração dada.

Passo 5

Partimos de \vec{v}(t)=v_{0x}\hat{\imath}+\bigl(v_{0y}-gt\bigr)\hat{\jmath} e da condição inicial \vec{r}(0)=\vec{r}_0=x_0\hat{\imath}+y_0\hat{\jmath}.
Integramos componente a componente:
  • Componente x:
    \frac{dx}{dt}=v_x(t)=v_{0x}.
    Integrando de 0 a t:
    x(t)=x(0)+\int_0^t v_{0x}\,dt' = x_0+v_{0x}t.
  • Componente y:
    \frac{dy}{dt}=v_y(t)=v_{0y}-gt.
    Integrando de 0 a t:
    y(t)=y(0)+\int_0^t \bigl(v_{0y}-g t'\bigr)\,dt' = y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}g t^2.
    (Aqui usamos a regra \int_0^t t'\,dt'=\tfrac{1}{2}t^2.)
Juntando em forma vetorial:
\vec{r}(t)=\bigl(x_0+v_{0x}t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}g t^2\bigr)\hat{\jmath},
que é a expressão pedida.

Passo 6

Diferenciando \vec{r}(t) em relação a t:
  • Para x(t)=x_0+v_{0x}t: \frac{dx}{dt}=v_{0x}=v_x(t).
  • Para y(t)=y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2: \frac{dy}{dt}=v_{0y}-gt=v_y(t).
Portanto \dfrac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}(t), como esperado.

Passo 7

Explicação geométrica simples: a velocidade inicial \vec{v}_0 tem módulo v_0 e forma ângulo \theta com a horizontal. Pela trigonometria do triângulo retângulo formado pelas componentes:
  • componente horizontal é adjacente ao ângulo \theta: v_{0x}=v_0\cos\theta.
  • componente vertical é oposta ao ângulo \theta: v_{0y}=v_0\sin\theta.
Logo, em forma vetorial:
\vec{v}_0=v_0\cos\theta\,\hat{\imath}+v_0\sin\theta\,\hat{\jmath}.
Substituindo em \vec{v}(t) e \vec{r}(t):
  • Velocidade: \vec{v}(t)=v_0\cos\theta\,\hat{\imath}+\bigl(v_0\sin\theta-gt\bigr)\hat{\jmath}.
  • Posição: \vec{r}(t)=\bigl(x_0+v_0\cos\theta\;t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(y_0+v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^2\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 8

Interpretando as fórmulas obtidas:
  • Direção x:
    x(t)=x_0+v_{0x}t.
    Isso é uma função linear de t com coeficiente angular v_{0x} constante. Em cinemática, movimento cujo deslocamento cresce linearmente com o tempo corresponde a movimento retilíneo uniforme (MRU): velocidade constante e aceleração nula na direção x (aqui a_x=0). Portanto o movimento na direção x é uniforme.
  • Direção y:
    y(t)=y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2.
    Aqui aparece um termo em t^2, característica de movimento com aceleração constante. A velocidade vertical é v_y(t)=v_{0y}-gt: varia linearmente com t devido à aceleração vertical constante a_y=-g. Movimento com velocidade que varia linearmente no tempo e posição com termo \propto t^2 é chamado de movimento uniformemente variado (MUV). Portanto o movimento na direção y é uniformemente variado (aceleração constante igual a -g).
Comentário motivador: pense assim — no eixo horizontal a gravidade não puxa, então nada muda a velocidade horizontal; no eixo vertical a gravidade puxa para baixo e faz a velocidade vertical diminuir uniformemente até inverter sinal (subida → descida).

Resposta

(a) \displaystyle \vec{v}(t)=v_{0x}\hat{\imath}+\bigl(v_{0y}-gt\bigr)\hat{\jmath} e \displaystyle \frac{d\vec{v}}{dt}=-g\hat{\jmath}=\vec{a}.
(b) \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(x_0+v_{0x}t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(y_0+v_{0y}t-\tfrac{1}{2}gt^2\bigr)\hat{\jmath} e \displaystyle \frac{d\vec{r}}{dt}=\vec{v}(t).
(c) \displaystyle \vec{v}_0=v_0\cos\theta\,\hat{\imath}+v_0\sin\theta\,\hat{\jmath}. Substituindo: \displaystyle \vec{v}(t)=v_0\cos\theta\,\hat{\imath}+\bigl(v_0\sin\theta-gt\bigr)\hat{\jmath} e \displaystyle \vec{r}(t)=\bigl(x_0+v_0\cos\theta\;t\bigr)\hat{\imath}+\bigl(y_0+v_0\sin\theta\;t-\tfrac{1}{2}gt^2\bigr)\hat{\jmath}.
(d) Movimento em x é uniforme (velocidade v_{0x} constante, a_x=0); movimento em y é uniformemente variado (aceleração constante a_y=-g, velocidade vertical varia como v_{0y}-gt).

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