Exercício 6 Uma partícula é lançada a partir do ponto
com velocidade inicial de módulo
, formando um ângulo
com a horizontal. Considere que a única força atuando sobre a partícula é a gravidade, de modo que sua aceleração é constante e dada por
(a) Sendo
constantes (as componentes do vetor velocidade de lançamento do projétil), derive, com relação ao tempo,
para mostrar que o resultado é a aceleração
acima.
(b) Sendo
e
constantes (o ponto de lançamento do projétil), derive, com relação ao tempo,
para mostrar que o resultado é a velocidade
acima.
(c) Mostre que a velocidade inicial de lançamento do projétil pode ser escrita como
. Substitua
e
nas equações acima.
(d) Justifique que o movimento na direção
é uniforme, enquanto na direção
é uniformemente variado.
(b) Sendo
(c) Mostre que a velocidade inicial de lançamento do projétil pode ser escrita como
(d) Justifique que o movimento na direção
Passo 1
O enunciado nos dá o seguinte cenário e pede quatro coisas claras:
-
Dados fornecidos:
- Aceleração constante da partícula:
, onde é a aceleração da gravidade e é o versor vertical para cima. - Ponto de lançamento fixo:
e (constantes). - Velocidade inicial de lançamento com componentes constantes:
e . - Módulo da velocidade inicial:
e ângulo de lançamento medido a partir da horizontal.
- Aceleração constante da partícula:
-
Perguntas pedidas:
(a) Partindo dee constantes, derive e mostre que a derivada dessa é .
(b) Partindo dee constantes, derive e mostre que a derivada de é .
(c) Mostre a decomposição trigonométricae substitua e nas equações anteriores.
(d) Justifique por que o movimento emé uniforme e em é uniformemente variado.
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicação didática bem mastigada):
- Relação entre aceleração, velocidade e posição:
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Isso significa: a aceleração diz como a velocidade muda com o tempo. - A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Isso significa: a velocidade diz como a posição muda com o tempo.
- A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
- Para recuperar velocidade a partir da aceleração usamos integração no tempo (antiderivada). Se
é conhecida e é a velocidade inicial, então A constante de integração é a velocidade inicial. - Para recuperar posição a partir da velocidade usamos novamente integração:
onde é a posição inicial (constante de integração). - Vamos trabalhar componente a componente: escrever vetores na base
e integrar as componentes separadamente. Isso facilita porque integração e derivação atuam em cada componente.
Passo 3
Temos a aceleração constante
Escrevendo em componentes:
Agora integramos cada componente no tempo, usando a condição inicial
.
-
Para a componente
: Integrando dea : Então(constante no tempo). -
Para a componente
: Integrando dea : Então.
Juntando componentes em forma vetorial:
que é exatamente a expressão pedida.
Passo 4
Agora mostramos que diferenciando
obtemos
.
- Derivando componente
: - Derivando componente
:
Assim,
Portanto a
encontrada é coerente com a aceleração dada.
Passo 5
Partimos de
e da condição inicial
.
Integramos componente a componente:
-
Componente
: Integrando dea : -
Componente
: Integrando dea : (Aqui usamos a regra.)
Juntando em forma vetorial:
que é a expressão pedida.
Passo 6
Diferenciando
em relação a
:
- Para
: - Para
:
Portanto
, como esperado.
Passo 7
Explicação geométrica simples: a velocidade inicial
tem módulo
e forma ângulo
com a horizontal. Pela trigonometria do triângulo retângulo formado pelas componentes:
- componente horizontal é adjacente ao ângulo
: - componente vertical é oposta ao ângulo
:
Logo, em forma vetorial:
Substituindo em
e
:
- Velocidade:
- Posição:
Passo 8
Interpretando as fórmulas obtidas:
-
Direção
: Isso é uma função linear decom coeficiente angular constante. Em cinemática, movimento cujo deslocamento cresce linearmente com o tempo corresponde a movimento retilíneo uniforme (MRU): velocidade constante e aceleração nula na direção (aqui ). Portanto o movimento na direção é uniforme. -
Direção
: Aqui aparece um termo em, característica de movimento com aceleração constante. A velocidade vertical é : varia linearmente com devido à aceleração vertical constante . Movimento com velocidade que varia linearmente no tempo e posição com termo é chamado de movimento uniformemente variado (MUV). Portanto o movimento na direção é uniformemente variado (aceleração constante igual a ).
Comentário motivador: pense assim — no eixo horizontal a gravidade não puxa, então nada muda a velocidade horizontal; no eixo vertical a gravidade puxa para baixo e faz a velocidade vertical diminuir uniformemente até inverter sinal (subida → descida).
Resposta
(a)
e
(b) e
(c) Substituindo:
e
(d) Movimento em é uniforme (velocidade
constante,
); movimento em
é uniformemente variado (aceleração constante
, velocidade vertical varia como
).
(b)
(c)
(d) Movimento em