Exercício 5 Uma partícula move-se no plano x y, e sua posição é dada por
\vec{r}(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}-4 t\right) \hat{\imath}+\left(2 t^{2}-8 t\right) \hat{\jmath}
onde t está em segundos e \vec{r} em metros. Considere t \geq 0.
(a) Determine a velocidade \vec{v}(t).
(b) Em que instante(s), se houver, a velocidade da partícula é nula?
(c) Para quais intervalos de tempo as componentes v_{x} e v_{y} são positivas ou negativas?
(d) Determine o(s) instante(s) em que a partícula muda o sentido do movimento em pelo menos uma das direções ( x ou y ).
(e) No instante t=1 \mathrm{~s}, em que direção a partícula se move? Esboce o vetor velocidade.
(f) Determine a rapidez no instante t=1 \mathrm{~s}.
(g) Determine a aceleração \vec{a}(t).
(h) Em que instante(s) a aceleração da partícula é nula?
(i) Para quais intervalos de tempo as componentes a_{x} e a_{y} são positivas ou negativas?
(j) Sabendo que a componente y da aceleração é constante, utilize a Equação de Torricelli para determinar a coordenada y da partícula no instante em que ela inverte o sentido do seu movimento vertical ( v_{y}=0 ).

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula no plano xy para t\ge 0:
\vec{r}(t)=\left(\frac{t^{3}}{3}-4t\right)\hat{\imath}+\left(2t^{2}-8t\right)\hat{\jmath}.
As perguntas são (a) a velocidade \vec{v}(t); (b) instantes em que a velocidade é nula; (c) intervalos em que v_x e v_y são positivas ou negativas; (d) instantes em que há mudança de sentido em x ou y; (e) direção da velocidade em t=1\\ \mathrm{s} e esboço do vetor; (f) rapidez em t=1\\ \mathrm{s}; (g) aceleração \vec{a}(t); (h) instantes em que a aceleração é nula; (i) intervalos em que a_x e a_y são positivas ou negativas; (j) usando a equação de Torricelli (para a componente y), encontrar a coordenada y no instante em que v_y=0.
Vou resolver passo a passo: primeiro lembro como obter velocidade e aceleração (derivadas da posição), depois resolvo equações para zeros e faço análise de sinais. Para a Torricelli, uso a forma v^2=v_0^2+2a\Delta s aplicada à componente y.

Passo 2

Determinar \vec{v}(t) por diferenciação componente a componente.
Breve aula: derivar uma função de t significa aplicar regras básicas:
  • \dfrac{d}{dt}\left(t^n\right)=n t^{n-1}.
  • A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
  • Constantes multiplicativas saem da derivada.
Aplicando isso às componentes de \vec{r}(t):
  • Para a componente x: \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{t^{3}}{3}-4t\right)=\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{t^{3}}{3}\right)-\dfrac{d}{dt}(4t).
    \dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{t^{3}}{3}\right)=\dfrac{1}{3}\cdot 3t^{2}=t^{2},\qquad \dfrac{d}{dt}(4t)=4.
    Logo v_x(t)=t^{2}-4.
  • Para a componente y: \dfrac{d}{dt}(2t^{2}-8t)=4t-8.
    Logo v_y(t)=4t-8.
Portanto,
\vec{v}(t)=\bigl(t^{2}-4\bigr)\hat{\imath}+\bigl(4t-8\bigr)\hat{\jmath}.

Passo 3

Encontrar instantes em que a velocidade é nula (vetor zero): isso acontece quando simultaneamente v_x(t)=0 e v_y(t)=0.
Resolve-se:
v_x(t)=t^{2}-4=0 \quad\Rightarrow\quad t^{2}=4 \quad\Rightarrow\quad t=\pm 2.
Como estamos em t\ge 0, a solução relevante é t=2.
v_y(t)=4t-8=0 \quad\Rightarrow\quad 4t=8 \quad\Rightarrow\quad t=2.
Ambas as componentes anulam-se em t=2. Conclusão: a velocidade vetorial é nula em t=2\\ \mathrm{s} (e somente nesse instante para t\ge0).

Passo 4

Análise de sinais de v_x(t)=t^{2}-4.
Fatorando: t^{2}-4=(t-2)(t+2). Para t\ge0 temos:
  • Em 0\le t<2: t^{2}<4 então v_x(t)<0.
  • Em t=2: v_x(2)=0.
  • Em t>2: t^{2}>4 então v_x(t)>0.
Portanto v_x é negativa em (0,2), nula em t=2, positiva em (2,\infty). Observação: em t=0, v_x(0)=-4 (negativa).

Passo 5

Análise de sinais de v_y(t)=4t-8=4(t-2).
Para t\ge0:
  • Em 0\le t<2: t-2<0 então v_y(t)<0.
  • Em t=2: v_y(2)=0.
  • Em t>2: v_y(t)>0.
Logo v_y é negativa em (0,2), nula em t=2, positiva em (2,\infty). Em t=0, v_y(0)=-8.

Passo 6

Instantes em que a partícula muda de sentido em x ou y.
Mudança de sentido numa direção ocorre quando a componente de velocidade nessa direção passa por zero (troca de sinal). Como tanto v_x quanto v_y têm zero em t=2 e mudam de negativo para positivo naquele instante, a partícula muda o sentido de movimento em ambas as direções exatamente em t=2\\ \mathrm{s}. Não há outro instante t\ge0 com essa propriedade.

Passo 7

Direção da velocidade em t=1\\ \mathrm{s} e esboço do vetor.
Calcule as componentes em t=1:
v_x(1)=1^{2}-4=-3,\qquad v_y(1)=4\cdot1-8=-4.
Então
\vec{v}(1)=-3\hat{\imath}-4\hat{\jmath}.
Interpretação geométrica (como esboçar): o vetor aponta para baixo e para a esquerda (quadrante III se estendido a partir da origem do vetor), com razão entre componentes \dfrac{v_y}{v_x}=\dfrac{-4}{-3}=\dfrac{4}{3}. Um esboço simples: desenhe um pequeno eixo x,y e do ponto de aplicação trace um vetor com deslocamento -3 unidades em x e -4 em y; é uma seta inclinada com declive 4/3 na direção sul-oeste.
Ângulo com o eixo positivo x: \theta=\operatorname{atan}\!\bigl(\tfrac{v_y}{v_x}\bigr)=\operatorname{atan}\!\bigl(\tfrac{-4}{-3}\bigr)=\operatorname{atan}\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr). Como v_x<0 e v_y<0, o ângulo referente ao sentido padrão fica em torno de 180^\circ+ \operatorname{atan}\!\bigl(\tfrac{4}{3}\bigr)\approx 180^\circ+53{,}13^\circ\approx 233{,}13^\circ (se preferir medida em radianos, multiplica por \pi/180).

Passo 8

Rapidez no instante t=1\\ \mathrm{s}.
Breve aula: rapidez é o módulo (norma) do vetor velocidade,
\text{rapidez}=|\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}}.
Aqui:
|\vec{v}(1)|=\sqrt{(-3)^{2}+(-4)^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5\\ \text{m/s}.

Passo 9

Determinar a aceleração \vec{a}(t) por derivação de \vec{v}(t).
Recorde: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, feita componente a componente.
a_x(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(t^{2}-4\bigr)=2t,\qquad a_y(t)=\dfrac{d}{dt}\bigl(4t-8\bigr)=4.
Portanto
\vec{a}(t)=2t\\ \hat{\imath}+4\\ \hat{\jmath}.

Passo 10

Instantes em que a aceleração é nula e análise de sinais.
A aceleração vetorial seria nula se simultaneamente a_x(t)=0 e a_y(t)=0. Temos:
a_x(t)=2t=0\Rightarrow t=0,\qquad a_y(t)=4\neq 0\\ \text{para todo }t.
Como a_y é constantemente 4, não existe instante em que ambas as componentes sejam zero ao mesmo tempo. Conclusão: a aceleração vetorial nunca é o vetor nulo para t\ge 0.
Sinais:
  • a_x(t)=2t é zero em t=0, positiva para t>0 e não é negativa para t\ge0.
  • a_y(t)=4 é positiva para todo t\ge0.

Passo 11

Usar a Equação de Torricelli para achar y no instante em que v_y=0.
Relembrando a forma da Equação de Torricelli (aplicada à componente vertical): para movimento com aceleração constante a_y,
v_y^{2}=v_{y0}^{2}+2a_y\bigl(y-y_0\bigr),
onde v_{y0},y_0 são velocidade vertical e posição vertical em um instante de referência.
Escolho como referência t_0=0 (porque conhecemos y(0) e v_y(0)):
  • y(0)=2\cdot 0^{2}-8\cdot 0=0.
  • v_y(0)=4\cdot 0-8=-8\\ \text{m/s}.
  • a_y=4\\ \text{m/s}^2 (constante).
Queremos y quando v_y=0. Substituindo na equação:
0^{2}=(-8)^{2}+2\cdot 4\cdot (y-0).
Calcula:
0=64+8y \quad\Rightarrow\quad 8y=-64 \quad\Rightarrow\quad y=-8\\ \text{m}.
Verificação direta (opcional): calcular y(2)=2(2)^{2}-8(2)=8-16=-8, bate com o resultado via Torricelli.

Resposta

(a) \vec{v}(t)=\bigl(t^{2}-4\bigr)\hat{\imath}+\bigl(4t-8\bigr)\hat{\jmath}.
(b) \;t=2\\ \mathrm{s}.
(c) v_x(t)<0 em 0\le t<2, v_x(2)=0, v_x(t)>0 em t>2. \;v_y(t)<0 em 0\le t<2, v_y(2)=0, v_y(t)>0 em t>2.
(d) A partícula muda de sentido em x e em y em t=2\\ \mathrm{s}.
(e) \vec{v}(1)=-3\hat{\imath}-4\hat{\jmath} (direção para baixo-esquerda; ângulo aproximadamente 233{,}13^\circ no sentido anti-horário a partir do eixo +x).
(f) Rapidez em t=1: 5\\ \text{m/s}.
(g) \vec{a}(t)=2t\\ \hat{\imath}+4\\ \hat{\jmath}.
(h) A aceleração vetorial nunca é nula para t\ge 0 (não existe t tal que \vec{a}(t)=\vec{0}).
(i) a_x(t)=2t é zero em t=0 e positiva para t>0; a_y(t)=4 é positiva para todo t\ge0.
(j) Coordenada vertical no instante de inversão vertical: y=-8\\ \text{m}.

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