Exercício 5 Uma partícula move-se no plano
, e sua posição é dada por
onde
está em segundos e
em metros. Considere
.
(a) Determine a velocidade
.
(b) Em que instante(s), se houver, a velocidade da partícula é nula?
(c) Para quais intervalos de tempo as componentes
e
são positivas ou negativas?
(d) Determine o(s) instante(s) em que a partícula muda o sentido do movimento em pelo menos uma das direções (
ou
).
(e) No instante
, em que direção a partícula se move? Esboce o vetor velocidade.
(f) Determine a rapidez no instante
.
(g) Determine a aceleração
.
(h) Em que instante(s) a aceleração da partícula é nula?
(i) Para quais intervalos de tempo as componentes
e
são positivas ou negativas?
(j) Sabendo que a componente
da aceleração é constante, utilize a Equação de Torricelli para determinar a coordenada
da partícula no instante em que ela inverte o sentido do seu movimento vertical (
).
(a) Determine a velocidade
(b) Em que instante(s), se houver, a velocidade da partícula é nula?
(c) Para quais intervalos de tempo as componentes
(d) Determine o(s) instante(s) em que a partícula muda o sentido do movimento em pelo menos uma das direções (
(e) No instante
(f) Determine a rapidez no instante
(g) Determine a aceleração
(h) Em que instante(s) a aceleração da partícula é nula?
(i) Para quais intervalos de tempo as componentes
(j) Sabendo que a componente
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula no plano
para
:
As perguntas são (a) a velocidade
; (b) instantes em que a velocidade é nula; (c) intervalos em que
e
são positivas ou negativas; (d) instantes em que há mudança de sentido em
ou
; (e) direção da velocidade em
e esboço do vetor; (f) rapidez em
; (g) aceleração
; (h) instantes em que a aceleração é nula; (i) intervalos em que
e
são positivas ou negativas; (j) usando a equação de Torricelli (para a componente
), encontrar a coordenada
no instante em que
.
Vou resolver passo a passo: primeiro lembro como obter velocidade e aceleração (derivadas da posição), depois resolvo equações para zeros e faço análise de sinais. Para a Torricelli, uso a forma
aplicada à componente
.
Passo 2
Determinar
por diferenciação componente a componente.
Breve aula: derivar uma função de
significa aplicar regras básicas:
-
. - A derivada de uma soma é a soma das derivadas.
- Constantes multiplicativas saem da derivada.
Aplicando isso às componentes de
:
-
Para a componente
: . Logo. -
Para a componente
: .
Logo.
Portanto,
Passo 3
Encontrar instantes em que a velocidade é nula (vetor zero): isso acontece quando simultaneamente
e
.
Resolve-se:
Como estamos em
, a solução relevante é
.
Ambas as componentes anulam-se em
. Conclusão: a velocidade vetorial é nula em
(e somente nesse instante para
).
Passo 4
Análise de sinais de
.
Fatorando:
. Para
temos:
- Em
: então . - Em
: . - Em
: então .
Portanto
é negativa em
, nula em
, positiva em
. Observação: em
,
(negativa).
Passo 5
Análise de sinais de
.
Para
:
- Em
: então . - Em
: . - Em
: .
Logo
é negativa em
, nula em
, positiva em
. Em
,
.
Passo 6
Instantes em que a partícula muda de sentido em
ou
.
Mudança de sentido numa direção ocorre quando a componente de velocidade nessa direção passa por zero (troca de sinal). Como tanto
quanto
têm zero em
e mudam de negativo para positivo naquele instante, a partícula muda o sentido de movimento em ambas as direções exatamente em
. Não há outro instante
com essa propriedade.
Passo 7
Direção da velocidade em
e esboço do vetor.
Calcule as componentes em
:
Então
Interpretação geométrica (como esboçar): o vetor aponta para baixo e para a esquerda (quadrante III se estendido a partir da origem do vetor), com razão entre componentes
. Um esboço simples: desenhe um pequeno eixo
e do ponto de aplicação trace um vetor com deslocamento
unidades em
e
em
; é uma seta inclinada com declive
na direção sul-oeste.
Ângulo com o eixo positivo
:
. Como
e
, o ângulo referente ao sentido padrão fica em torno de
(se preferir medida em radianos, multiplica por
).
Passo 8
Rapidez no instante
.
Breve aula: rapidez é o módulo (norma) do vetor velocidade,
Aqui:
Passo 9
Determinar a aceleração
por derivação de
.
Recorde: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, feita componente a componente.
Portanto
Passo 10
Instantes em que a aceleração é nula e análise de sinais.
A aceleração vetorial seria nula se simultaneamente
e
. Temos:
Como
é constantemente
, não existe instante em que ambas as componentes sejam zero ao mesmo tempo. Conclusão: a aceleração vetorial nunca é o vetor nulo para
.
Sinais:
-
é zero em , positiva para e não é negativa para . -
é positiva para todo .
Passo 11
Usar a Equação de Torricelli para achar
no instante em que
.
Relembrando a forma da Equação de Torricelli (aplicada à componente vertical): para movimento com aceleração constante
,
onde
são velocidade vertical e posição vertical em um instante de referência.
Escolho como referência
(porque conhecemos
e
):
-
. -
. -
(constante).
Queremos
quando
. Substituindo na equação:
Calcula:
Verificação direta (opcional): calcular
, bate com o resultado via Torricelli.
Resposta
(a)
(b)
(c) em
,
,
em
.
em
,
,
em
.
(d) A partícula muda de sentido em e em
em
(e) (direção para baixo-esquerda; ângulo aproximadamente
no sentido anti-horário a partir do eixo
).
(f) Rapidez em :
(g)
(h) A aceleração vetorial nunca é nula para (não existe
tal que
).
(i) é zero em
e positiva para
;
é positiva para todo
.
(j) Coordenada vertical no instante de inversão vertical:
(b)
(c)
(d) A partícula muda de sentido em
(e)
(f) Rapidez em
(g)
(h) A aceleração vetorial nunca é nula para
(i)
(j) Coordenada vertical no instante de inversão vertical: