Exercício 3-O Arseneto de Gálio, GaAs, é amplamente usado na construção de dispositivos emissores de luz vermelha, e está sendo desenvolvido para chips de processadores centrais avançados em supercondutores. A energia de gap desse semicondutor é de 1,12 \mathrm{eV}. Determine o comprimento de onda, em nm, que pode promover um elétron da banda de valência para a banda de condução no GaAs.
Lembrar que 1 \mathrm{eV}=1,6002 \times 10^{-19} \mathrm{~J}.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar o comprimento de onda que pode promover um elétron da banda de valência para a banda de condução no GaAs, dado que a energia de gap é \,1,12\\ \mathrm{eV}.
Informações fornecidas e constantes que usaremos (todas retiradas do enunciado ou constantes físicas conhecidas):
  • Energia de gap: \,E_g = 1,12\\ \mathrm{eV}.
  • Conversão do enunciado: \,1\\ \mathrm{eV} = 1,6002\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
  • Constante de Planck: \,h = 6,62607015\times10^{-34}\\ \mathrm{J\cdot s}.
  • Velocidade da luz no vácuo: \,c = 2,99792458\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O objetivo claro é usar a relação entre a energia de um fóton e seu comprimento de onda para achar \lambda em nanômetros.

Passo 2

Converter a energia de gap de elektron-volts para joules (para usar com h e c em unidades SI).
A energia em joules é
E = E_g \times (1\\ \mathrm{eV\;em\;J}) = 1,12 \times 1,6002\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Calculando:
E = 1,792224\times10^{-19}\\ \mathrm{J}.
Explicação didática curta: aqui multiplicamos o valor em \mathrm{eV} pela quantidade de joules que vale 1\\ \mathrm{eV}. Sempre que usamos h em \mathrm{J\cdot s} e c em \mathrm{m/s}, a energia precisa estar em joules.

Passo 3

Relacionar energia do fóton com comprimento de onda.
Fórmula fundamental: a energia de um fóton é dada por
E = \frac{hc}{\lambda},
onde
  • \,E é a energia do fóton (em joules),
  • \,h é a constante de Planck ( \mathrm{J\cdot s}),
  • \,c é a velocidade da luz ( \mathrm{m/s}),
  • \,\lambda é o comprimento de onda (em metros).
Isolando \lambda:
\lambda = \frac{hc}{E}.
Didaticamente: para promover um elétron da valência para a condução, o fóton precisa ter pelo menos a energia de gap. Por isso usamos E=E_g no cálculo.

Passo 4

Cálculo numérico de \lambda usando as constantes em SI.
Primeiro calculemos hc:
hc = (6,62607015\times10^{-34})\cdot(2,99792458\times10^{8}) = 1,98644586\times10^{-25}\\ \mathrm{J\cdot m}.
Agora
\lambda = \frac{hc}{E} = \frac{1,98644586\times10^{-25}}{1,792224\times10^{-19}} = 1,108079\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Converter para nanômetros ( 1\\ \mathrm{m} = 10^{9}\\ \mathrm{nm}):
\lambda = 1,108079\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 1108,079\\ \mathrm{nm}.
Arredondando de forma prática (3 algarismos significativos):
\lambda \approx 1108\\ \mathrm{nm}.
Explicação útil para prova (atalho): é comum lembrar a aproximação
hc \approx 1240\\ \mathrm{eV\cdot nm},
logo
\lambda(\mathrm{nm}) \approx \frac{1240}{E(\mathrm{eV})} = \frac{1240}{1,12}\approx1107{,}1\\ \mathrm{nm},
que dá praticamente o mesmo resultado (diferenças vêm de arredondamentos nas constantes).

Passo 5

Interpretação e dica prática
  • O comprimento de onda obtido ( \sim1108\\ \mathrm{nm}) está no infravermelho próximo, ou seja, é maior que o vermelho visível (visível termina por volta de 750\\ \mathrm{nm}). Portanto, uma energia de gap de \,1,12\\ \mathrm{eV} corresponde a fótons infravermelhos.
  • Dica para a prova: se pedirem rápidez, use \lambda(\mathrm{nm})\approx1240/E(\mathrm{eV}). Se precisarem de maior precisão, faça a conversão para joules e use \lambda=hc/E como aqui.
Força aí — você já tem o passo a passo para reproduzir isso na prova!

Resposta

1108\ \mathrm{nm}

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