Exercício 2: Cicloide
A cicloide é a curva descrita por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar. Suas equações são
.
(a) Plote a curva para
.
(b) Identifique no gráfico os pontos onde a velocidade do ponto na borda seria zero (as cúspides). Para quais valores de
isso ocorre?
(c) O que representa fisicamente o parâmetro
neste caso?
(a) Plote a curva para
(b) Identifique no gráfico os pontos onde a velocidade do ponto na borda seria zero (as cúspides). Para quais valores de
(c) O que representa fisicamente o parâmetro
Passo 1
O enunciado define a cicloide pela parametrização
para
. Vamos (1) desenhar essa curva, (2) achar onde a velocidade
é zero (cúspides), e (3) interpretar fisicamente o parâmetro
. Para isso, usamos cálculo de curvas paramétricas: derivadas para a velocidade e raciocínio geométrico sobre o movimento de um ponto na borda de uma roda.
Passo 2
Para plotar a curva, basta gerar valores de
de
até
e calcular
O gráfico resultante são três arcos de cicloide, cada um de largura
(entre as cúspides) e altura máxima
. As cúspides ficam no nível
e nas abscissas
,
.
Passo 3
Calculamos a velocidade paramétrica
Para ter cúspide, precisamos de
, ou seja
Passo 4
Das equações acima vem
e
, que ocorrem simultaneamente quando
No intervalo
temos
, ou seja
Passo 5
Fisicamente,
é o ângulo (em radianos) que a roda já girou desde o instante inicial. Como a roda tem raio unitário e não desliza,
também é igual ao comprimento de arco que a roda rolou no chão. Em movimento uniforme de rotação unitária,
coincide com o tempo.
Resposta
(a) Gráfico: três arcos de cicloide de largura
e altura
, com cúspides em
,
,
,
.
(b) Cúspides em
(b) Cúspides em
(c)
é o ângulo de rotação (em radianos) da roda, ou equivalentemente o comprimento de arco rolado (e, para rotação unitária, coincide com o tempo).