Exercício 2: Cicloide

A cicloide é a curva descrita por um ponto na borda de uma roda que rola sem deslizar. Suas equações são \sigma(t)=(t-\operatorname{sen} t, 1-\cos t).
(a) Plote a curva para t \in[0,6 \pi].
(b) Identifique no gráfico os pontos onde a velocidade do ponto na borda seria zero (as cúspides). Para quais valores de t isso ocorre?
(c) O que representa fisicamente o parâmetro t neste caso?

Passo 1

O enunciado define a cicloide pela parametrização
\sigma(t) = \bigl(x(t),y(t)\bigr) = \bigl(t - \operatorname{sen} t,\;1 - \cos t\bigr),
para t\in[0,6\pi]. Vamos (1) desenhar essa curva, (2) achar onde a velocidade \sigma'(t) é zero (cúspides), e (3) interpretar fisicamente o parâmetro t. Para isso, usamos cálculo de curvas paramétricas: derivadas para a velocidade e raciocínio geométrico sobre o movimento de um ponto na borda de uma roda.

Passo 2

Para plotar a curva, basta gerar valores de t de 0 até 6\pi e calcular
x(t)=t-\operatorname{sen} t,\quad y(t)=1-\cos t.
O gráfico resultante são três arcos de cicloide, cada um de largura 2\pi (entre as cúspides) e altura máxima 2. As cúspides ficam no nível y=0 e nas abscissas x=2\pi k, k=0,1,2,3.

Passo 3

Calculamos a velocidade paramétrica
\sigma'(t) = \bigl(x'(t),\,y'(t)\bigr) = \bigl(1-\cos t,\;\operatorname{sen} t\bigr).
Para ter cúspide, precisamos de \sigma'(t)=(0,0), ou seja
1-\cos t = 0 \quad\text{e}\quad \operatorname{sen} t = 0.

Passo 4

Das equações acima vem \cos t=1 e \operatorname{sen} t=0, que ocorrem simultaneamente quando
t = 2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}.
No intervalo [0,6\pi] temos k=0,1,2,3, ou seja
t = 0,\;2\pi,\;4\pi,\;6\pi.

Passo 5

Fisicamente, t é o ângulo (em radianos) que a roda já girou desde o instante inicial. Como a roda tem raio unitário e não desliza, t também é igual ao comprimento de arco que a roda rolou no chão. Em movimento uniforme de rotação unitária, t coincide com o tempo.

Resposta

(a) Gráfico: três arcos de cicloide de largura 2\pi e altura 2, com cúspides em (0,0), (2\pi,0), (4\pi,0), (6\pi,0).
(b) Cúspides em
t = 0,\;2\pi,\;4\pi,\;6\pi.
(c) t é o ângulo de rotação (em radianos) da roda, ou equivalentemente o comprimento de arco rolado (e, para rotação unitária, coincide com o tempo).

Exercícios relacionados