5.1. Exercício 1: IC para o Teor de Sólidos Solúveis (Brix) em Sucos

Aplicação: Controle de qualidade e padronização do sabor e conformidade de sucos concentrados. A norma interna exige que o suco de laranja não pasteurizado tenha um teor médio mínimo de 11,0^{\circ} Brix.
Dados:
  • \mathrm{n}=8 amostras de suco de laranja.
  • Média Amostral (\bar{x})=11.5^{\circ} Brix.
  • Desvio Padrão Amostral (\mathrm{s})=0.3^{\circ} Brix.
  • Nível de Confiança (\gamma)=95 \%.
Objetivo: Estimar o teor médio de Brix do lote e avaliar se há 95 \% de confiança de que a média populacional ( \mu ) atende ao limite mínimo de 11,0^{\circ} Brix.

Passo 1

O enunciado pede para estimar o teor médio de Brix do lote e verificar se, com confiança de 95\%, a média populacional \mu atende ao limite mínimo de 11,0^\circ Brix. As informações dadas são:
n=8,
\bar{x}=11,5^\circ\\ \text{Brix},
s=0,3^\circ\\ \text{Brix},
\gamma=95\%.
Portanto as perguntas são:
  1. Qual o intervalo de confiança de 95\% para \mu?
  2. Podemos afirmar com 95\% de confiança que \mu\ge 11,0^\circ Brix?

Passo 2

Escolha do método e conceito: como a amostra é pequena ( n=8) e o desvio padrão populacional é desconhecido, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student. O intervalo de confiança bilateral para a média é dado por
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{x} é a média amostral (a estimativa pontual de \mu);
  • s é o desvio padrão amostral (estimação de \sigma);
  • n é o tamanho da amostra;
  • t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da distribuição t com n-1 graus de liberdade; aqui \alpha=1-\gamma.
    Explicando didaticamente: o fator s/\sqrt{n} é o erro padrão da média — ele diz quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra. O fator t ajusta a largura do intervalo levando em conta a incerteza adicional por usarmos s em vez de \sigma e o tamanho pequeno da amostra.

Passo 3

Calcule os parâmetros do t:
\alpha=1-\gamma=1-0,95=0,05,
\alpha/2=0,025,
\text{graus de liberdade }=n-1=8-1=7.
O quantil correspondente é t_{1-\alpha/2,\;7}=t_{0,975,\;7}. Consultando tabela de t (ou software) obtemos
t_{0,975,\;7}\approx 2,365.
(Esse valor vem da tabela: para df=7 e probabilidade acumulada 0,975 o t é aproximadamente 2,365.)

Passo 4

Calcule o erro padrão da média:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{0,3}{\sqrt{8}}.
Calcule \sqrt{8}:
\sqrt{8}\approx 2,828427.
Agora a divisão:
\frac{0,3}{2,828427}\approx 0,106066.
Portanto o erro padrão da média é aproximadamente 0,106066 (em unidades de ^\circ Brix).

Passo 5

Calcule a margem de erro (metade da largura do intervalo):
\text{margem}=t_{0,975,\;7}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2,365\cdot 0,106066.
Multiplicando:
2,365\cdot 0,106066\approx 0,2505.
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, a margem é aproximadamente 0,25^\circ Brix.

Passo 6

Determine os limites do intervalo de confiança de 95\%:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=11,5-0,2505\approx 11,2495,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=11,5+0,2505\approx 11,7505.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em controle de qualidade):
\text{IC de }95\%\text{ para }\mu\approx[11,25^\circ,\;11,75^\circ]\\ \text{Brix}.
Interpretação intuitiva: com 95\% de confiança, o verdadeiro teor médio de Brix do lote está entre cerca de 11,25^\circ e 11,75^\circ.

Passo 7

Verificação se \mu\ge 11,0^\circ: uma maneira direta é observar o limite inferior do IC. Como o limite inferior ( \approx 11,2495^\circ) é maior que 11,0^\circ, concluímos que, ao nível de confiança de 95\%, a média populacional excede o limite mínimo exigido. Outra forma (equivalente) é fazer um teste unilateral:
Formule
H_0:\mu=11,0\qquad H_1:\mu>11,0.
Estatística de teste:
t=\frac{\bar{x}-11,0}{s/\sqrt{n}}=\frac{11,5-11,0}{0,106066}\approx\frac{0,5}{0,106066}\approx 4,714.
O valor crítico unilaterais com \alpha=0,05 e df=7 é t_{0,95,\;7}\approx 1,895. Como t\approx 4,714 é muito maior que 1,895, rejeitamos H_0 e concluímos que \mu>11,0 com nível de significância 5\%. Isso confirma a conclusão obtida pelo intervalo de confiança. (Resumo: evidência forte de que a média supera 11,0^\circ Brix.)

Passo 8

Observações finais e incentivo: a conclusão depende da suposição de que os dados são razoavelmente provenientes de uma população aproximadamente normal (importante quando n é pequeno). Se isso for plausível para amostras de suco (geralmente aceitável), então a conclusão é robusta. Ótimo trabalho: com esses números há evidência clara de que o lote atende ao mínimo exigido — respira fundo, você já entendeu o passo a passo!

Resposta

Intervalo de confiança de 95\% para \mu: [11,25^\circ,\;11,75^\circ]\\ \text{Brix}.
Sim — há 95\% de confiança de que \mu\ge 11,0^\circ Brix (o limite inferior do IC \approx 11,25^\circ é maior que 11,0^\circ; teste t unilateral: t\approx 4,714>1,895).

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