5.1. Exercício 1: IC para o Teor de Sólidos Solúveis (Brix) em Sucos
Aplicação: Controle de qualidade e padronização do sabor e conformidade de sucos concentrados. A norma interna exige que o suco de laranja não pasteurizado tenha um teor médio mínimo de
Brix.
Dados:
-
amostras de suco de laranja.
- Média Amostral
Brix.
- Desvio Padrão Amostral
Brix.
- Nível de Confiança
.
Objetivo: Estimar o teor médio de Brix do lote e avaliar se há
de confiança de que a média populacional (
) atende ao limite mínimo de
Brix.
Passo 1
O enunciado pede para estimar o teor médio de Brix do lote e verificar se, com confiança de
, a média populacional
atende ao limite mínimo de
Brix. As informações dadas são:
Portanto as perguntas são:
- Qual o intervalo de confiança de
para ? - Podemos afirmar com
de confiança que Brix?
Passo 2
Escolha do método e conceito: como a amostra é pequena (
) e o desvio padrão populacional é desconhecido, usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição
de Student. O intervalo de confiança bilateral para a média é dado por
onde:
-
é a média amostral (a estimativa pontual de ); -
é o desvio padrão amostral (estimação de ); -
é o tamanho da amostra; -
é o quantil da distribuição com graus de liberdade; aqui .
Explicando didaticamente: o fatoré o erro padrão da média — ele diz quanto, em média, a média amostral varia de uma amostra para outra. O fator ajusta a largura do intervalo levando em conta a incerteza adicional por usarmos em vez de e o tamanho pequeno da amostra.
Passo 3
Calcule os parâmetros do
:
O quantil correspondente é
. Consultando tabela de
(ou software) obtemos
(Esse valor vem da tabela: para
e probabilidade acumulada
o
é aproximadamente
.)
Passo 4
Calcule o erro padrão da média:
Calcule
:
Agora a divisão:
Portanto o erro padrão da média é aproximadamente
(em unidades de
Brix).
Passo 5
Calcule a margem de erro (metade da largura do intervalo):
Multiplicando:
Arredondando de forma prática para duas casas decimais, a margem é aproximadamente
Brix.
Passo 6
Determine os limites do intervalo de confiança de
:
Arredondando para duas casas decimais (prática comum em controle de qualidade):
Interpretação intuitiva: com
de confiança, o verdadeiro teor médio de Brix do lote está entre cerca de
e
.
Passo 7
Verificação se
: uma maneira direta é observar o limite inferior do IC. Como o limite inferior (
) é maior que
, concluímos que, ao nível de confiança de
, a média populacional excede o limite mínimo exigido. Outra forma (equivalente) é fazer um teste unilateral:
Formule
Formule
Estatística de teste:
O valor crítico unilaterais com
e
é
. Como
é muito maior que
, rejeitamos
e concluímos que
com nível de significância
. Isso confirma a conclusão obtida pelo intervalo de confiança. (Resumo: evidência forte de que a média supera
Brix.)
Passo 8
Observações finais e incentivo: a conclusão depende da suposição de que os dados são razoavelmente provenientes de uma população aproximadamente normal (importante quando
é pequeno). Se isso for plausível para amostras de suco (geralmente aceitável), então a conclusão é robusta. Ótimo trabalho: com esses números há evidência clara de que o lote atende ao mínimo exigido — respira fundo, você já entendeu o passo a passo!
Resposta
Intervalo de confiança de
para
:
.
Sim — há de confiança de que
Brix (o limite inferior do IC
é maior que
; teste
unilateral:
).
Sim — há