Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
, onde
é o sólido limitado pelos planos coordenados eo plano
.
Passo 1
O enunciado pede avaliar a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano
.
Informações dadas e o que se pede:
- O sólido
está no primeiro octante, logo , , . - A superfície que fecha
do lado superior é o plano . - Precisamos calcular o valor numérico da integral tripla
.
Passo 2
Descrever a região
e sua projeção no plano
.
A equação do plano isolada em
é
Como
no sólido, a projeção
de
no plano
é o triângulo definido por
ou seja
Os interceptos são:
- quando
e temos ; - quando
e temos .
Portantoé o triângulo com vértices , , .
Passo 3
Escolher a ordem de integração e escrever a integral com os limites.
É conveniente integrar primeiro em
(porque o limite superior é
), depois em
e por fim em
. Assim
Passo 4
Integrar em
(integração direta porque o integrando não depende de
).
Calcula-se a integral interna:
Logo a integral reduz-se a uma integral dupla na região
:
Passo 5
Integrar em
. Primeiro expandir o integrando e depois integrar termo a termo.
Expandindo:
As antiderivadas em
são:
Portanto, a integral em
avaliada entre
e
é
Passo 6
Avaliar a expressão no limite superior
e simplificar.
Defina
. Então
Substituindo na antiderivada:
Colocando em denominador comum e simplificando obtém-se
Portanto a integral reduz-se a uma integral simples em
:
Passo 7
Calcular a integral em
por substituição.
Fatorando a constante:
Faça a substituição
, então
e
. Quando
tem-se
; quando
tem-se
. Assim
Logo a integral total vale
Passo 8
Simplificar a fração obtida.
Calculando
, portanto a expressão do passo anterior simplifica para
.