Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
\iiint_{T} y^{2} d V, onde T é o sólido limitado pelos planos coordenados eo plano 2 x+3 y+z=6.

Passo 1

O enunciado pede avaliar a integral tripla
\iiint_{T} y^{2}\,dV,
onde T é o sólido limitado pelos planos coordenados e pelo plano \,2x+3y+z=6.
Informações dadas e o que se pede:
  • O sólido T está no primeiro octante, logo x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0.
  • A superfície que fecha T do lado superior é o plano \,2x+3y+z=6.
  • Precisamos calcular o valor numérico da integral tripla \iiint_{T} y^{2}\,dV.

Passo 2

Descrever a região T e sua projeção no plano xy.
A equação do plano isolada em z é
z = 6 - 2x - 3y.
Como z\ge 0 no sólido, a projeção D de T no plano xy é o triângulo definido por
6 - 2x - 3y \ge 0,\qquad x\ge 0,\qquad y\ge 0,
ou seja
2x + 3y \le 6.
Os interceptos são:
  • quando y=0 e z=0 temos 2x=6\Rightarrow x=3;
  • quando x=0 e z=0 temos 3y=6\Rightarrow y=2.
    Portanto D é o triângulo com vértices (0,0), (3,0), (0,2).

Passo 3

Escolher a ordem de integração e escrever a integral com os limites.
É conveniente integrar primeiro em z (porque o limite superior é z=6-2x-3y), depois em y e por fim em x. Assim
\iiint_{T} y^{2}\,dV = \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{\frac{6-2x}{3}}\int_{z=0}^{6-2x-3y} y^{2}\,dz\,dy\,dx.

Passo 4

Integrar em z (integração direta porque o integrando não depende de z).
Calcula-se a integral interna:
\int_{z=0}^{6-2x-3y} y^{2}\,dz = y^{2}\bigl[z\bigr]_{0}^{6-2x-3y} = y^{2}(6-2x-3y).
Logo a integral reduz-se a uma integral dupla na região D:
\iint_{D} y^{2}(6-2x-3y)\,dA = \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{\frac{6-2x}{3}} y^{2}(6-2x-3y)\,dy\,dx.

Passo 5

Integrar em y. Primeiro expandir o integrando e depois integrar termo a termo.
Expandindo:
y^{2}(6-2x-3y)=6y^{2}-2x y^{2}-3y^{3}.
As antiderivadas em y são:
\int 6y^{2}\,dy = 2y^{3},\qquad \int -2x y^{2}\,dy = -\frac{2x}{3}y^{3},\qquad \int -3y^{3}\,dy = -\frac{3}{4}y^{4}.
Portanto, a integral em y avaliada entre 0 e y=\dfrac{6-2x}{3} é
\left(2-\frac{2x}{3}\right) y^{3} - \frac{3}{4}y^{4}\Bigg|_{0}^{\frac{6-2x}{3}}.

Passo 6

Avaliar a expressão no limite superior y=\dfrac{6-2x}{3} e simplificar.
Defina y_{\max}=\dfrac{6-2x}{3}. Então
y_{\max}^{3}=\frac{(6-2x)^{3}}{27},\qquad y_{\max}^{4}=\frac{(6-2x)^{4}}{81}.
Substituindo na antiderivada:
\left(2-\frac{2x}{3}\right)\frac{(6-2x)^{3}}{27} - \frac{3}{4}\cdot\frac{(6-2x)^{4}}{81}.
Colocando em denominador comum e simplificando obtém-se
\frac{(6-2x)^{4}}{324}.
Portanto a integral reduz-se a uma integral simples em x:
\int_{0}^{3} \frac{(6-2x)^{4}}{324}\,dx.

Passo 7

Calcular a integral em x por substituição.
Fatorando a constante:
\frac{1}{324}\int_{0}^{3} (6-2x)^{4}\,dx.
Faça a substituição \displaystyle u=6-2x, então du=-2\,dx e dx=-\dfrac{du}{2}. Quando x=0 tem-se u=6; quando x=3 tem-se u=0. Assim
\int_{0}^{3} (6-2x)^{4}\,dx = \int_{6}^{0} u^{4}\left(-\frac{du}{2}\right) = \frac{1}{2}\int_{0}^{6} u^{4}\,du = \frac{1}{2}\left[\frac{u^{5}}{5}\right]_{0}^{6} = \frac{1}{2}\cdot\frac{6^{5}}{5}.
Logo a integral total vale
\frac{1}{324}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{6^{5}}{5} = \frac{6^{5}}{648\cdot 5} = \frac{7776}{648\cdot 5}.

Passo 8

Simplificar a fração obtida.
Calculando \dfrac{7776}{648}=12, portanto a expressão do passo anterior simplifica para \dfrac{12}{5}.

Resposta

\dfrac{12}{5}

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