Exercício 1. Avaliar as seguintes integrais:
, onde
é o sólido limitado pelos planos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
onde
é o sólido limitado pelos planos
.
Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
Vou listar claramente o que foi dado e o que é pedido:
- Dado: superfícies que limitam
: - duas faces verticais paralelas:
e ; - três planos que envolvem as coordenadas
e : , (ou seja ) e .
- duas faces verticais paralelas:
- Pedido: avaliar
.
Passo 2
Primeira observação útil: as duas restrições em
são simples e independentes de
:
. Isso sugere que, para cada
fixo, a seção em
é a mesma; geometricamente
é um prisma reto ao longo do eixo
. Vou projetar
no plano
(isto é, considerar a seção transversal em função de
e
) para entender os limites em
e
.
Passo 3
Determinar a região triangular no plano
dada pelas interseções das curvas/retas:
- Interseção de
com : resolver dá . Ponto . - Interseção de
com : resolver dá . Ponto . - Interseção de
com : resolver dá , aí . Ponto .
Portanto a projeção de
no plano
é o triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 4
Descrever esse triângulo com limites explicitáveis para integrar: para
a reta superior é
(segmento do vértice
até
); para
a reta superior é
(segmento do vértice
até
). Em ambos os casos a reta inferior é
. Logo podemos escrever a integral dupla na seção
como soma de duas integrais (uma para
e outra para
).
Passo 5
Usar a separação entre
e
: como os limites em
não dependem de
e o integrando é produto
, podemos aplicar a propriedade de Fubini/Separação e escrever
Explico rápido: a integral em
integra só a parte
do integrando; a integral sobre o triângulo no plano
integra a parte
. Aqui
denota o elemento de área no plano
.
Passo 6
Calcular a integral em
:
Explicando: usei a primitiva de
, que é
, e avaliei nos limites
e
.
Passo 7
Agora preciso de
Vou calcular
escrevendo-a como soma das duas porções em
:
Aqui, dentro de cada integral,
é tratado como constante ao integrar em
.
Passo 8
Calcular as integrais internas (integração em
):
- Para
:
- Para
:
Portanto
Passo 9
Calcular cada integral em
passo a passo.
- Primeiro termo:
Detalhe: em
tem-se
, por isso o resultado é
.
- Segundo termo:
Passo 10
Somando as duas contribuições:
Interpretação rápida (útil para prova): o triângulo é simétrico em relação a
e a função
é ímpar nessa simetria, por isso a integral de
sobre o triângulo dá zero — isso evita cálculos longos quando perceber essa simetria.
Passo 11
Voltando à integral tripla e usando a separação do Passo 5:
Resposta
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