Exercício Avaliativo: Funções Exponenciais com Base e
Considere as funções exponenciais com base e, dadas por:
f(x)=e^2 x e g(x)=e^-2 x
Elabore o gráfico de ambas as funções dadas.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar no mesmo sistema de eixos as funções exponenciais de base e definidas por f(x)=e^2x e g(x)=e^-2x. O conteúdo envolve análise de funções exponenciais—domínio, imagem, assíntota e comportamento de crescimento/decrescimento—e uso de pontos notáveis para traçar o gráfico.

Passo 2

Analisando f(x)=e^2x: o domínio é todos os reais e a imagem é (0,infty). A assíntota horizontal é y=0. Como o expoente 2x cresce com x, f é estritamente crescente. Em particular:
  • f(0)=e^0=1
  • f(1)=e^2
  • f(-1)=e^-2
    Com esses pontos e a assíntota, a curva sobe rapidamente para a direita e se aproxima de zero para xto-infty.

Passo 3

Analisando g(x)=e^-2x: o domínio é também R e a imagem (0,infty). A assíntota horizontal é y=0. Como o expoente -2x decresce quando x aumenta, g é estritamente decrescente. Em particular:
  • g(0)=e^0=1
  • g(1)=e^-2
  • g(-1)=e^2
    Então a curva desce para a direita, aproximando-se de zero quando xto+infty, e cresce sem limite para xto-infty.

Passo 4

Agora podemos traçar as duas curvas no mesmo gráfico:
  • Ambas passam por (0,1).
  • f começa perto de zero à esquerda e cresce para cima rapidamente.
  • g começa muito grande à esquerda e cai para zero à direita.
  • A linha y=0 é assíntota comum para as duas funções.

Passo 5

Descrevendo o esboço final:
  • No eixo x, marque alguns valores como -1,0,1.
  • No eixo y, marque e^-2,1,e^2.
  • Desenhe f(x) subindo exponencialmente da esquerda para a direita, passando por (0,1) e por (1,e^2).
  • Desenhe g(x) descendo exponencialmente, passando por (0,1) e por (1,e^-2).
  • Indique a assíntota horizontal y=0.
    Com isso, temos o gráfico das duas funções exponenciais com base e traçadas de forma detalhada.

Resposta

O gráfico de f(x)=e^2x é uma curva crescente que passa por (0,1), tende a zero quando xto-infty e cresce sem limite para xto+infty. O gráfico de g(x)=e^-2x é uma curva decrescente que também passa por (0,1), tende a infinito para xto-infty e se aproxima de zero quando xto+infty. Ambas têm assíntota horizontal y=0 e podem ser esboçadas conforme descrito.

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