Exercício Avaliativo: Funções Exponenciais com Base e
Considere as funções exponenciais com base
, dadas por:
Elabore o gráfico de ambas as funções dadas.
Considere as funções exponenciais com base
Passo 1
O enunciado pede para desenhar no mesmo sistema de eixos as funções exponenciais de base e definidas por
e
. O conteúdo envolve análise de funções exponenciais—domínio, imagem, assíntota e comportamento de crescimento/decrescimento—e uso de pontos notáveis para traçar o gráfico.
Passo 2
Analisando
: o domínio é todos os reais e a imagem é
. A assíntota horizontal é
. Como o expoente
cresce com
,
é estritamente crescente. Em particular:
-
-
-
Com esses pontos e a assíntota, a curva sobe rapidamente para a direita e se aproxima de zero para.
Passo 3
Analisando
: o domínio é também
e a imagem
. A assíntota horizontal é
. Como o expoente
decresce quando
aumenta,
é estritamente decrescente. Em particular:
-
-
-
Então a curva desce para a direita, aproximando-se de zero quando, e cresce sem limite para .
Passo 4
Agora podemos traçar as duas curvas no mesmo gráfico:
- Ambas passam por
. -
começa perto de zero à esquerda e cresce para cima rapidamente. -
começa muito grande à esquerda e cai para zero à direita. - A linha
é assíntota comum para as duas funções.
Passo 5
Descrevendo o esboço final:
- No eixo
, marque alguns valores como . - No eixo
, marque . - Desenhe
subindo exponencialmente da esquerda para a direita, passando por e por . - Desenhe
descendo exponencialmente, passando por e por . - Indique a assíntota horizontal
.
Com isso, temos o gráfico das duas funções exponenciais com basetraçadas de forma detalhada.
Resposta
O gráfico de
é uma curva crescente que passa por
, tende a zero quando
e cresce sem limite para
. O gráfico de
é uma curva decrescente que também passa por
, tende a infinito para
e se aproxima de zero quando
. Ambas têm assíntota horizontal
e podem ser esboçadas conforme descrito.