Uma maionese mal conservada causou mal estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei:
n(t)=200.2^a t
em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real.
a) Determine o número inicial de bactérias.
b) Sabendo que após 3 horas do início do almoço o número de bactérias era de 800 , determine o-valor da constante a.
c) Determine o número de bactérias após 1 dia da realização do almoço.

Passo 1

O enunciado descreve um crescimento exponencial de bactérias segundo a lei n(t)=200cdot2^a t. O conteúdo é modelo de crescimento exponencial e vamos precisar das propriedades de potências e de logaritmos para resolver as três partes do problema.

Passo 2

Para saber o número inicial de bactérias, basta avaliar n(t) em t=0. Nesse instante temos:
n(0)=200cdot2^acdot0=200cdot2^0=200cdot1=200
Logo, inicialmente havia 200 bactérias.

Passo 3

Para encontrar a constante a, usamos a informação de que n(3)=800. Substituindo em n(t)=200cdot2^a t com t=3, obtemos:
200cdot2^3a=800
Dividindo ambos os lados por 200:
2^3a=4
Como 4=2^2, igualamos expoentes:
3a=2Rightarrow a=tfrac23

Passo 4

Para estimar o número de bactérias após 1 dia (ou seja, t=24 horas), usamos a=2/3 e t=24 em n(t)=200cdot2^a t:
n(24)=200cdot2^23cdot24=200cdot2^16
Sabendo que 2^16=65536,
n(24)=200times65536=13107200
Portanto, em 24 horas haveria 13.107.200 bactérias.

Resposta

a) 200
b) a=tfrac23
c) 13.107.200

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