侩 Exercicio Avaliativo: Mostre que
, com as operaçoès usuais, é um espaço vetorial
Inicio da Solucão: Sejam
.
(i) Quero provar que
(ii) até (viii)
(i) Quero provar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
, com a adição usual de pares e a multiplicação usual por escalar, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos verificar as propriedades de fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de vetor nulo e inverso aditivo, e as propriedades de compatibilidade e distributividade da multiplicação escalar.
Passo 2
Fechamento em
: sejam
,
e
.
- A soma
é um par de reais, logo está em
.
2. O produto escalar
2. O produto escalar
é também um par de reais, logo pertence a
.
Passo 3
Propriedades da adição em
:
– Comutatividade:
– Comutatividade:
– Associatividade: sejam
. Então
e
logo
.
Passo 4
Identidade e inverso aditivo:
– Vetor nulo: satisfaz
– Vetor nulo:
– Inverso de
:
pois
Passo 5
Multiplicação escalar e escalar identidade:
– Identidade escalar:
– Identidade escalar:
– Associatividade escalar: para
,
e
logo
.
Passo 6
Distributividade da multiplicação escalar:
– Sobre soma de vetores:
– Sobre soma de vetores:
– Sobre soma de escalares:
Resposta
Portanto, todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial estão verificadas em
com as operações usuais. Logo,
é um espaço vetorial sobre
.