侩 Exercicio Avaliativo: Mostre que R^2, com as operaçoès usuais, é um espaço vetorial
Inicio da Solucão: Sejam u=(a, b), v=(c, d) in w=(k, p) in R^2, alpha, beta in R.
(i) Quero provar que u+v=v+u
u+v=(a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)=(c+a, d+b)=(c, d)+(a, b)=v+u
(ii) até (viii)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que R^2, com a adição usual de pares e a multiplicação usual por escalar, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos verificar as propriedades de fechamento, comutatividade e associatividade da adição, existência de vetor nulo e inverso aditivo, e as propriedades de compatibilidade e distributividade da multiplicação escalar.

Passo 2

Fechamento em R^2: sejam vec u=(a,b), vec v=(c,d)inR^2 e alphainR.
  1. A soma
vec u+vec v=(a+c,;b+d)
é um par de reais, logo está em R^2.
2. O produto escalar
alpha,vec u=(alpha a,;alpha b)
é também um par de reais, logo pertence a R^2.

Passo 3

Propriedades da adição em R^2:
– Comutatividade:
vec u+vec v=(a+c,;b+d)=(c+a,;d+b)=vec v+vec u
– Associatividade: sejam vec w=(k,p). Então
(vec u+vec v)+vec w = (a+c,;b+d)+(k,p)=(a+c+k,;b+d+p)
e
vec u+(vec v+vec w)=(a,b)+(c+k,;d+p)=(a+c+k,;b+d+p),
logo (vec u+vec v)+vec w=vec u+(vec v+vec w).

Passo 4

Identidade e inverso aditivo:
– Vetor nulo: vec 0=(0,0) satisfaz
vec u+vec 0=(a,b)+(0,0)=(a,b)=vec u
– Inverso de vec u=(a,b):
-vec u=(-a,,-b),
pois
vec u+(-vec u)=(a-a,;b-b)=(0,0)=vec 0

Passo 5

Multiplicação escalar e escalar identidade:
– Identidade escalar:
1cdotvec u=(1cdot a,;1cdot b)=(a,b)=vec u
– Associatividade escalar: para alpha,betainR,
(alphabeta)vec u = (alphabeta,a,;alphabeta,b)
e
alpha,(betavec u)=alpha,(beta a,;beta b)=(alphabeta,a,;alphabeta,b),
logo (alphabeta)vec u=alpha(betavec u).

Passo 6

Distributividade da multiplicação escalar:
– Sobre soma de vetores:
alpha,(vec u+vec v)=alpha,(a+c,;b+d)=(alpha a+alpha c,;alpha b+alpha d)=(alpha a,alpha b)+(alpha c,alpha d)=alphavec u+alphavec v
– Sobre soma de escalares:
(alpha+beta)vec u = ((alpha+beta)a,;(alpha+beta)b)=(alpha a+beta a,;alpha b+beta b)=(alpha a,alpha b)+(beta a,beta b)=alphavec u+betavec u

Resposta

Portanto, todas as propriedades exigidas para um espaço vetorial estão verificadas em R^2 com as operações usuais. Logo, R^2 é um espaço vetorial sobre R.

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